時間：2022-03-02 19:13:55
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教學目標：
（1）學生在動手操作與小組交流等學習活動中，理解并掌握圓錐的體積計算公式，并能解決有關圓錐體積的簡單實際問題。
（2）經歷圓錐體積的推導過程，培養學生的觀察、動手操作、分析歸納等能力。
（3）在猜想、實驗、驗證、推理等過程中滲透恒等、模型等數學思想和實踐第一的辯證唯物主義思想，發展學生的空間觀念。
（4）通過小組實驗操作，匯報交流，分享成功的喜悅，增強學習數學的信心。
教學重點：理解圓錐體積的計算公式，能運用公式解決實際問題。
教學難點：圓錐體積計算公式的推導過程及圓錐體積等于等底等高的圓柱體積的三分之一的理解。
教學具準備：
多媒體課件、等底等高的圓柱和圓錐、河沙、提水桶裝水、實驗報告單等。
教學過程：
一、創設情境，引入新知
1.復習舊知
師：孩子們，今天老師帶了兩個可愛的朋友想與大家一起學習，你們也歡迎它們嗎？（出示圓柱的圖片）看看，認識它嗎？你了解圓柱嗎？都知道些什么呢？
學生暢談有關圓柱的知識。
師：孩子們對圓柱真是太熟悉了。那這個朋友呢？（出示圓錐圖片）你又了解了些什么？
學生大膽交流有關圓錐的知識。
師：孩子們真是太棒了，把鼓勵的掌聲送給自己！
2.引入新知
師：孩子們喜歡上手工課嗎？用橡皮泥做過學具嗎？看看在一節手工課上發生了什么？在一節手工課上，小紅和小芳用橡皮泥做學具。小紅做了一個底面積為15平方厘米，高為6厘米的圓柱；小芳做了一個底面積為15平方厘米，高為18厘米的圓錐。小紅說：“你做這么高，用的橡皮泥太多了。”小芳說：“你的圓柱要粗的多，用的橡皮泥更多”她們倆究竟誰用的橡皮泥多呢？學生猜猜看。
師：要比較她們倆誰用的橡皮泥多，可以通過計算圓柱圓錐的什么來判斷？
生：體積。
圓柱的體積等于什么？（底面積乘以高），那圓錐的體積也等于底面積乘以高嗎？究竟該怎樣計算圓錐的體積？這節課我們一起來研究圓錐體積的計算方法。
揭示課題：圓錐的體積
二、小組操作，探究新知
1.提出猜想，大膽質疑
師：大家猜猜看，圓錐的體積與我們以前學過的哪種形體的體積有關？
2.小組合作，動手實驗
師：圓錐的體積和圓柱的體積之間究竟有沒有關系呢？如果有關系的話，它們之間又是一種什么關系？通過什么辦法才能找到它們之間的關系呢？帶著這些問題，請同學們分組研究，通過實驗尋找答案。
在小組探究前，請看清要求：（多媒體出示）
1.六人小組的成員必須分工合作（實驗員，填表員，匯報員各司其職），利用提供的器材共同想辦法解決問題，找出圓錐的體積的計算方法。
2.根據小組研究的方法填寫實驗報告單。
溫馨提示：裝沙的時候，輕輕的把圓錐裝滿即可，用尺子水平的將多余的沙子輕輕刮掉，再輕輕的倒入圓柱。裝水注意裝滿。
師：明白了嗎？請在組長的帶領下，開始行動吧！
附：（ ）組的實驗報告單
記錄人：
實驗方法：我們組是用的是空心圓錐裝（）的方法實驗的。
實驗步驟：
（1）用等底等高的（ ）裝滿（ ）倒入（ ）中。
（2）我們組共倒了（ ）次，正好裝滿。
（3）我們的發現：用等底等高的（）裝滿（）倒入（）中，（）次剛好能裝滿。
實驗結論：圓錐的體積等于等底等高的（）體積的（）
學生小組合作探究，教師巡視指導，參與學生的活動。
3.展示匯報，導出新知
師：哪個小組來交流你們的實驗方法和結果？
至少抽三個小組匯報，老師注意引導組員補充與教師的跟進。
結合學生的交流，師板書：圓錐的體積等于等底等高的圓柱的體積的[13]。反過來說，圓柱的體積等于等底等高的圓錐體積的3倍。
4.公式推導，理解新知
師：圓錐的體積=圓柱體積的[13]，如果用字母v錐表示圓錐的體積，圓柱的體積用v柱表示，則v錐=[13]v柱，而圓柱的體積v柱=sh，所以v錐=[13] sh。公式中的s表示什么，h表示什么？圓錐的底面是什么形狀？怎樣計算它的底面積？所以圓錐的體積公式還可以怎樣表示？
v錐=[13]π[r2]h學生齊讀公式，并記住公式。
5.實驗質疑，拓展新知
師 ：是不是所有的圓錐的體積都是圓柱體積的三分之一呢？我們來做個實驗。
師請兩個學生做實驗演示：用兩個等底不等高的圓柱和圓錐裝水，結果沒有得到圓錐體積是圓柱體積的三分之一，讓學生進一步體會等底等高的含義。
6.問題解決，應用新知
孩子們能用我們自己研究的成果來解決問題嗎？
出示例1：一個鉛錘高6厘米，底面半徑4厘米。這個鉛錘的體積是多少立方厘米？
孩子們默讀題目后問：能獨立解答嗎？學生獨立解答后抽學生的作業展示匯報。
三、拓展應用，鞏固新知
1.填一填
（1）圓柱的體積字母公式是（），圓錐的體積字母公式是（）。
（2）等底等高的圓柱的體積是圓錐的體積的（）倍。
（3）圓錐的底面積是15平方米，高9米，體積是（）。與它等底等高的圓柱的體積是（）立方米
2.教科書第42頁第一題。（課件出示）
學生獨立解答，集體訂正。
3.剛才小紅和小芳的爭議，同學們能幫她們解決了嗎？誰用的橡皮泥多？
四、梳理小結，提升新知
3、培養學生個人的自主學習能力和小組合作學習的能力。
教學重點和難點：掌握圓錐體體積公式的推導。
教具準備：1、等底等高的圓柱體和圓錐體6套，大小不同的圓柱體和圓錐體6套、水槽6套。
2、多媒體課件設計
教學過程設計
(一)復習準備：
1．怎樣計算圓柱的體積？(板書：圓柱體的體積=底面積×高)
2．一個圓柱的底面積是60平方分米，高15分米，它的體積是多少立方分米？
3．圓錐有什么特征？
學生回答后，教師用課件演示：屏摹上顯示一個圓錐體，將它的底面、側面、高和頂點閃爍。
（二）導入新課
今天我們就利用這些知識探討新的問題-----怎樣計算圓錐的體積（板書課題）
（三）進行新課
1、探討圓錐的體積公式
教師：怎樣探討圓錐的體積計算公式呢？在回答這個問題之前，請同學們先想一想，我們是怎樣知道圓柱體積公式的：
學生回答，教師板書：
圓柱------（轉化）------長方體
圓柱體積公式--------（推導）長方體體積公式
教師：借鑒這種方法，為了我們研究圓錐體體積的方便，每個組都準備了一個圓柱體和一個圓錐體。你們小組比比看，這兩個形體有什么相同的地方？學生操作比較。
（1）提問學生：你發現到什么？（這個圓柱體和這個圓錐體的形狀有什么關系）
(學生得出：底面積相等，高也相等。)
底面積相等，高也相等，用數學語言說就叫“等底等高”。
(板書：等底等高)
（2）為什么？既然這兩個形體是等底等高的，那么我們就跟求圓柱體體積一樣，就用“底面積×高”來求圓錐體體積行不行？(不行，因為圓錐體的體積小)
教師：（把圓錐體套在透明的圓柱體里)是啊，圓錐體的體積小，那你估計一下這兩個形體的體積大小有什么樣的倍數關系？(指名發言)
的水和圓柱體、圓錐體做實驗。怎樣做這個實驗由小組同學自己商量，但最后要向同學們匯報，你們組做實驗的圓柱體和圓錐體在體積大小上有什么樣的倍數關系。
（3）學生分組做實驗。
A.誰來匯報一下，你們組是怎樣做實驗的？
b.你們做實驗的圓柱體和圓錐體在體積大小上發現有什么倍數關系？
(學生發言：圓柱體的體積是圓錐體體積的3倍)
同學們得出這個結論非常重要，其他組也是這樣的嗎？
我們學過用字母表示數，誰來把這個公式整理一下？(指名發言)
（4）學生操作：出示另外一組大小不同的圓柱體和圓錐體進行體積大小的比較，通過比較你發現什么？
學生回答后，教師整理歸納：不是任何一個圓錐體的體積都是任何一個圓柱體體積的。(老師拿起一個小圓錐、一個大圓柱)如果老師把這個大圓錐體里裝滿了水，往這個小圓柱體里倒，倒三次能倒滿嗎？(不能)
為什么你們做實驗的圓錐體里裝滿了水往圓柱體里倒，倒三次能倒滿呢？(因為是等底等高的圓柱體和圓錐體。)
呢？(在等底等高的情況下。)
(老師在體積公式與“等底等高”四個字上連線。)
現在我們得到的這個結論就更完整了。(指名反復敘述公式。)
今后我們求圓錐體體積就用這種方法來計算。
(三)鞏固反饋
1．口答。填空：
v(立方米)
v（立方米）
60
52
126
4.5
2．出示例題學生讀題，理解題意，自己解決問題。
例一個圓錐形的零件，底面積是19平方厘米，高是12厘米，這個零件的體積是多少？
A學生完成后，進行小組交流。
你是怎樣想的和怎樣解決問題。（提問學生多人）
C教師板書:
×19×12=76（立方厘米）
答：它的體積是76立方米
3．練習題。
一個圓錐體，半徑為6cm，高為18cm。體積是多少？(學生在黑板上只列式，反饋。)
4、出示例2：要求學生自己讀題，理解題意思。
在打谷場上，有一個近似于圓錐形的小麥堆/！/，測得底面直徑是4米，高是1.2米，每立方米小麥約重735千克，這堆小麥約有多少千克？（得數保留整千克）
（1）提問：從題目中你知道什么？
（2）學生獨立完成后教師提問。并回答同學的質疑：3.14×（）×1.2×表示什么？為什么要先求圓錐的體積？得數保留整千克數是什么意思？….
5、比較：例1和例2有什么地方不同？
（1）直接告訴了我們底面積，而（2）沒有直接告訴，要求我們先求出底面積，再求出圓錐體積；（2）例1是直接求體積，例2是求出體積后再求重量。
我們已經學會了求圓錐體的體積，現在我們來解決有關圓錐體體積的問題。
四、鞏固練習：
1、一個圓錐形沙堆，高是1.5米，底面半徑是2米，每立方米沙重1.8噸。這堆沙約重多少噸？
2、選擇題。每道題下面有3個答案，你認為哪個答案正確就用手指數表示。。
(1)一個圓錐體的體積是a立方米，和它等底等高的圓柱體體積是(
)
⑴立方米②3a立方米③9立方米
(2)把一段圓鋼切削成一個最大的圓錐體，圓柱體體積是6立方米，圓錐體體積是(
)立方米
（1）6立方米（2）3立方米（3）2立方米
2、學生操作：
看看我們的教室是什么體？(長方體)
要在我們的教室里放一個盡可能大的圓錐體，想一想，怎樣放體積最大？(小組討論)
指名發言。當爭論不出結果時，讓學生以小組為單位動手測量數據：教室長12m，寬6m，高4m。并板書出來，再比較怎樣放體積最大的圓錐體。
以下是“圓錐的體積”的三個教學片斷。
[片斷一]
一、認識圓錐。
二、實驗操作，發現規律。
1.出示實驗記錄表，明確實驗要求。
2.學生分組實驗，教師巡視指導。
三、啟發引導，推導公式。
[片斷]
一、直觀演示，引導猜測。思考：猜猜看，圓錐的體積與什么有關?結合學生回答通過演示使學生認識到圓錐的體積與底面積和高有關。
二、合作交流，引導轉化。出示一堆堆成圓錐形的黃沙。小組討論：怎樣可以求出這個圓錐形沙堆的體積?匯報交流。
三、操作驗證，推導公式。各小組通過操作算出圓錐的體積，并觀察推導圓錐的體積計算公式。
四、鞏固應用。
[片段三]
課前讓學生用橡皮泥捏成一個圓錐。
一、認識圓錐。
二、猜測：圓錐的體積與圓錐的什么有關?圓錐的體積會不會等于它的底面積乘以高?為什么?
三、討論：怎樣驗證你的猜想?
四、小組合作。動手操作驗證。
五、匯報交流。總結圓錐的體積計算公式。
[教學反思]
片斷一的教學設計其實是一個看似完美的圓，但這種完美是以犧牲學生的創造力為代價的。在這節課的教學設計中，學生所做的只是動手操作。從發展學生的數學思想方法能力這方面來看，這節課的教學中有這樣幾點解決問題的關鍵沒有解決好：一、怎么想到根據圓柱的體積計算公式推導圓錐的體積計算公式的?二、一定要用等底等高的圓柱和圓錐嗎?三、怎么知道倒幾次后就恰好能將圓柱倒滿的?這三點往往也是傳統課堂教學中容易忽視的。教師只關注學生對圓錐的體積計算公式的掌握及應用，而對于在這一教學過程中所應該關注的學生數學思想的發展并不重視。
片斷二中則能夠圍繞這三個問題去設計教學思路，而也正是因為考慮到這三個問題，所以在教學實踐中解決這三個問題時，放手讓學生進行操作、研究、討論、交流，減少了對學生思維的限定，給了他們足夠的思維空間，所以學生在研究交流過程中，能夠突破教材的既定思路，這樣才有讓學生在自主探索中產生創新的可能。在教學實踐中，有學生提出了將圓錐形沙堆倒進一個圓柱體或長方體容器里再測量體積；有學生提出將這個圓錐形沙堆重新堆成一個圓柱形或長方體形狀，再去測量它的體積，等等。從這些想法中我們可以看出這些學生已初步具有了轉化的思想以及解決實際問題的能力。
片斷三從學生最常見的玩具橡皮泥人手，讓學生在做中進一步感受數學。首先在用橡皮泥捏成一個圓錐體的過程中，學生初步領會了圓錐的特征，這樣在課堂教學中讓學生觀察圓錐的特征時，許多學生都能有所收獲。其次，由于橡皮泥的特殊性質，在推導圓錐體積計算公式時，大部分學生都能想到將這個圓錐體轉化成一個圓柱或長方體，再通過計算體積找出圓錐的體積與圓柱的體積(即底面積乘高)之間的關系。在這個教學片斷中，教師并沒有太多的“命令”，而是通過創設認知沖突，引導學生產生探究的欲望，并通過合作、交流、操作、驗證等數學方法去進行探究。學生不僅在課堂中學到了圓錐的體積計算公式，更重要的是學到了數學思維方法。
【關鍵詞】理性；數學思維；數學感受；數學味
【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）33-0070-02
【作者簡介】1.張云，江蘇省鎮江市丹徒實驗學校（江蘇鎮江，212028）副校長，高級教師，江蘇省優秀教育工作者；2.朱君，江蘇省鎮江市丹徒實驗學校（江蘇鎮江，212028）教師，一級教師，鎮江市丹徒區骨干教師。
每個學科都有自己獨特的美，語文有人文之美，音樂有節奏之美，美術有意境之美，而數學則應閃爍著“理性”之美。
前不久，筆者曾觀摩一位教師執教的蘇教版六下《圓錐的體積》一課，基本環節是：回顧鋪墊，通過復習圓柱的知識、觸摸立體圖形等活動，創設學習新知識的情境；提出問題，通過觸摸新事物，使學生產生問題，然后教師出示本課的學習目標；觀察實驗，發現圓柱和圓錐體積之間的關系，得出圓錐體積的計算方法；鞏固練習，師生共同總結。教者的基本功扎實，課件設計得精美、巧妙，教學過程如下：
師：請同學們拿出一個圓柱與圓錐，看看它們有什么關系。
生：等底等高。
師：這組等底等高的圓柱和圓錐，它們的體積相等嗎？你能看出這個圓錐的體積是這個與它等底等高的圓柱體積的幾分之幾嗎？
生：體積不相等，圓錐體積大致是與它等底等高的圓柱體積的二分之一或三分之一。
師：到底是幾分之幾呢？下面我們來做一個實驗，驗證一下。
接著教師在課件上演示：一個圓錐裝滿了水向一個等底等高的圓柱里倒，連續倒了三次剛好倒滿。
師：通過觀察上面的實驗，你有什么發現？
生：圓錐體積是和它等底等高的圓柱體積的三分之一。
教師指導學生學習書本上的實驗以及公式推導的過程，鞏固所學知識，同時體會探究問題的，鼓勵學生繼續探索。
【困惑】
一節課上得很熱鬧，學生看著制作精美的多媒體課件，學習熱情高漲。但聽完課后，不由得讓筆者疑惑：
這是一堂數學課還是觀影課？這節課最重要的環節“通過研究圓錐與同它等底等高的圓柱的關系，推導圓錐體體積的計算公式”，學生沒有親身實驗，而是觀看多媒體課件。這節課更像是一節觀影課。
課件演示的實驗結果是否真實可信？有課件制作常識的人都知道，“一個圓錐裝滿了水向一個與其等底等高的圓柱里倒，連續倒了三次剛好倒滿”可能是教師刻意制作的結果。對學生而言，這樣的教學缺少動手操作和理性思考的過程。
基于以上兩點感受，筆者認為現代教育媒體雖然給數學教學帶來了諸多方便，將原本枯燥、抽象的數學變成了形象、具體、富有動感的數學，大大提高了學生學習數學的興趣。但是，如果教師過于依賴多媒體，學生的探究能力和提出問題、分析問題、理性思考的能力都將無法得到提高。
如何提高學生的綜合能力，打造高效的數學課堂，彰顯數學知識所蘊含的數學價值？為了回答這個問題，同樣教學“圓錐的體積推導”這一內容，筆者設計了如下教學環節：
1.明確為什么要做實驗。
師：你們已經會求圓柱的體積了，如果讓你求圓錐的體積，你會求嗎？你有什么方法？說出來交流一下。
生1：可以將這個圓錐裝滿水，倒到量杯里量一量，就知道它的體積了。
師：你真聰明，但這樣做求出來的是容積。
生2：如果圓錐不是空的怎么辦？所以我覺得可以把它放到一個量杯里，溢出來的水的體積就是圓錐的體積。
生3：有那么大的杯子幔空廡椒ǘ疾恍小N頤且找到一個計算公式。只要知道圓錐的高和底面積，就可以求出圓錐的體積。
生4：用底面積乘以高嗎？那不是圓柱的體積計算公式嗎？
生5：我想三角形和平行四邊形有關系。圓柱和圓錐是不是也有關系呢？它們的體積是不是也存在著幾分之幾的關系呢？
師：那怎么辦呢？
生：可以用實驗來驗證！找等底等高的圓柱和圓錐，看看它們的體積存在著怎樣的關系？
2.明確為什么要找等底等高的圓柱和圓錐。 師：為什么要找等底等高的圓柱和圓錐來做實驗呢？不是等底等高就不行嗎？
生：那樣研究出來也沒有什么意義呀，不能推導出一般的計算公式。
3.明確實驗步驟和相關注意點。
師：那如何來實驗呢？
生：我們可以將圓錐裝滿米，倒入圓柱中，看看需要倒幾次；也可以將圓柱裝滿米，倒入圓錐中，看看需要倒幾次。
師：我們做實驗時要注意什么？
生：實驗的準確性。如：米要裝滿，刮平，倒時不漏到外面等。
【反思】
1.用數學的思維方式組織教學。
學生學習數學的目的是什么？筆者認為數學學習的目的至少包括：第一，理解和掌握數學基礎知識，為學習更高層次的數學知識打好基礎；第二，解決實際生活中的一些問題，從而更好地為學生的生活服務；第三，通過數學知識的學習和運用，培養學生的數學思維方式、創新意識和創造能力，同時使學生的情感、態度與價值觀得到發展。在這三條中，筆者認為最核心的就是培養學生的數學思維方式，促使學生進行理性的思考。數學是思維的體操，數學課區別于其他學科課程的顯著特征之一便是嚴謹的思維方式。圓錐體積計算公式的推導不應牽著學生的鼻子走，而應讓學生明白為什么這樣做，這樣做的目的是什么。那么，如何使學生通過實驗分析問題、思考問題，使其思維走向深刻、理性呢？教師在教學時應及時捕捉課堂生成資源，激發學生思考的欲望，促進其思維的發展，使數學課多一些“數學味”。
2.把思考的主動權交給學生。
兒童的智慧在他的指尖上。加強動手操作能力的培養，是幫助學生解決問題的捷徑。放手讓學生在有限的時間里多動手、多思考、多實踐，成為真正的探索者，才能切實提高課堂教學效率，提高學生的綜合能力。教師不應低估學生的潛能，而應把思考的主動權交給學生，由學生按照自己的想法動手實驗得出結論。
3.讓學生樂于表達自己的感悟。
“學生的學習要建立在他們已有的知識經驗和水平基礎之上”，這是每位數學教師都深知的一條教學原則。但在平時的教學實踐中，卻很少有教師研究學生掌握了哪些知識，教學完全是按照教師自己的想法進行設計的，使學生被動學習數學，造成數學教學高耗低效的局面。要想轉變學生的學習方式，教師在進行數學教學之前，就要對學生的數學水平進行前測。下面，筆者以“圓錐的體積”練習課的教學為例，談談如何開展數學教學的前測工作。
一、前測方法
前測，就是在教學之前利用不同方法對學生的知識水平進行測試，如掌握學生的學習經驗是什么、找到學生的最近發展區等，以便及時調整教學設計。正常情況下，我們都會采用以下幾種前測的方法：（1）測試。課前出一張測試卷，了解學生相關的知識情況，以便在教學時可以及時調整教學設計，進行有針對性的教學。（2）訪談。課前隨機走進學生當中，與學生交流相關情況，從訪談中了解學生的真實水平，以便在教學時選擇最為有效的教學策略。（3）測試與訪談相結合。這種方法是在學生測試之后，針對學生在測試中出現的情況，通過訪談來了解產生的原因，這樣可以更加具體、清晰地了解學生的學習起點。（4）作業痕跡分析。作業是在一種自然、自主的情況下發生的學習行為，在很大程度上反映出學生真實的學習水平。從學生的作業中，可以看出哪些學生已經掌握了知識、哪些是學生還沒有掌握的內容等，學生錯誤的原因也可以通過分析作業來獲取信息。
二、前測案例呈現及分析
下面，筆者就結合作業痕跡分析法來談談如何有效把握學生的學習起點。請看下面幾個學生的作業錯例：
通過對上述四個作業錯例進行分析，可以看出學生對圓錐的體積公式掌握不牢，或者說學生還沒有更清晰地理解圓錐體積的計算公式。如第一個錯例，學生忘記圓錐的體積計算是用底面積來乘的，而不是用半徑來乘的；第二個錯例，學生忘記了圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的三分之一，這樣求出來的不是圓錐的體積，而是與它等底等高的圓柱體積；第三個錯例，學生忘記了圓錐的體積計算公式是半徑的平方，而不是直徑乘以直徑，所以錯誤產生的原因是沒有把直徑轉化成半徑來解答；第四個錯例，直接用圓錐的半徑平方來乘以高，忘記乘以3．14先求出圓錐的底面積了。通過學生所列的算式，可以看出學生已經基本掌握了圓的相關知識，但是由于粗心，計算圓錐體積時忘記乘以3．14了。
三、根據前測信息設計教案及點評
教學目標：
1.進一步掌握圓柱和圓錐體積的計算方法，能正確熟練地運用公式計算圓錐的體積。
2.進一步培養學生運用所學知識解決實際問題的能力和動手操作的能力。
3.進一步熟悉圓錐的體積計算。
教學過程：
1.回顧舊知。
（1）學生作業痕跡分析。
（2）今天我們就一起來學習圓錐的體積練習。
2.實際應用。
判斷：圖中圓錐與哪個圓柱的體積相等？
（1）先讓學生自己分析，再小組交流。
（2）全班交流，得出結論。
3.拓展提升。
（1）能將直角三角形轉成圓錐嗎？如果能，請你算算，它的體積是多少？可以閉上眼睛想一想，也可以在紙上畫一畫。
（2）如下圖，有一根圓柱體的木料，底面積為6平方分米，長20分米，沿著木料的中點，把頭部加工成一個圓錐。已知削去部分的體積是40立方分米。求加工后木料的體積是多少？
4.全課總結。
師：通過今天的學習，你有什么收獲？
……
通過前測，發現學生對圓錐的體積公式記得不牢，沒有厘清圓錐與圓柱體積計算方法之間的區別和聯系，計算時出現丟三落四等現象，在復雜的問題中不能細心、細致地分析數量之間的關系。所以，上述教案完全是根據對學生前測之后所獲取的信息進行設計的。上述教學中，回顧舊知時簡要地與學生一起分析作業錯誤的原因，讓學生意識到自己的錯誤，使學生形成要在本節課努力聽講、認真學習的決心與信心。接著，在實際應用環節中，讓學生分析圓錐與哪個圓柱的體積相等。這一環節的設計，既來源于學生已經學習過的圓錐體積計算公式，又高于圓錐體積計算公式的應用。學生要想解答這一道題目，就必須牢記圓錐的體積計算公式。這樣教學，讓學生從更特別的思維角度來厘清圓柱與圓錐體積之間的關系，強化了圓錐體積一定是與它等底等高圓柱體積的三分之一，加深了學生對圓錐體積公式的理解與掌握，為學生能夠熟練運用這一公式來解答數學問題奠定了基礎。拓展提升環節中的兩道題可以促使學生從更廣闊的背景出發，加強對圓錐體積的認識。通過這一節課的練習，使學生能夠靈活運用圓錐體積計算公式解決生活中的實際問題。
四、教學反思
通過上述前測分析與依據前測設計的教案，筆者認為，可以通過前測完成以下幾個方面的任務。
1．明確學生學習起點，恰當安排教學內容。
通過前測，可以知道學生的學習起點是什么，這樣教學內容的難易程度就要根據學生的學習起點來安排，不能過難，也不能沒有思維含量。如上述案例中，學生的學習起點就是對圓錐體積計算公式掌握不牢，不能靈活運用圓錐體積計算公式解決問題，一遇到復雜的問題時就不知道如何解決了。所以設計教案時，我從學生的這一學習起點出發，讓學生重新梳理圓柱與圓錐體積之間的關系，這樣就可以從一個新的角度來引導學生理解所學知識，有效地激發了學生探究的積極性。
2．明確學生知識缺陷，靈活調整教學內容。
前測的一個重要功能就是了解學生對所學知識的掌握情況，這樣教師就可以根據前測所獲取的信息，靈活調整教學內容，有針對性地為學生查漏補缺。如上述教學通過前測，了解學生產生錯誤的原因是對圓錐體積計算公式掌握不牢，不能夠靈活運用圓錐體積計算公式來解答相關的數學問題。但是從前測來看，學生對圓的面積計算公式的運用還是比較到位的。就好比最后一道題，學生可以通過周長來求一堆沙子的底面周長，但是對圓錐體積的計算公式卻會出現不同的錯誤，這就是學生知識上的缺陷。所以，在設計教學時，教師要靈活調整教學內容，讓學生從不同的角度靈活運用圓錐體積計算公式解決不同的數學問題。
3．明確前測內容要求，有效組織前測工作。
組織前測時，前測的內容既要符合學生的認知特點，又要根據學生的實際情況和將要學習的新知識來安排；既要為安排新的教學內容提供依據，又要為確定課堂教學的重、難點提供幫助。當然，前測的內容還要有利于發展學生的數學思維。前測題的難易程度既不能讓學生隨手拈來，都能夠正確完成任務，又不能難度過大，讓學生解答不出來，這兩種設計都不能有效測試出學生的真實水平。前測內容要從學生的學習起點出發，既要有學生學習新知識的最基礎內容，又要有學生學習新知識的思維方式，這樣才能讓前測更有效地服務于新課的教學。
從教學結果來看，有兩點值得注意：一是學生對圓柱和圓錐的特征、圓柱和圓錐體積的計算方法以及圓柱表面積的計算方法掌握較好；二是學生對圓柱和圓錐體積之間的關系掌握并不理想（只記得等底等高時，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，圓錐的體積是圓柱體積的1/3；而當圓柱與圓錐等體等底或等體等高時往往學生不清楚“誰占誰的1/3”）。針對第二點，我一直在尋求可行的、有效的教學方法，力求突破難點，達到良好的教學效果。
在接觸了“變異理論”之后，我嘗試站在嶄新的角度，重新進行教學設計。“變異理論”一直強調知識的關鍵屬性，因此，針對學生困惑的關鍵點，我決定從倍、比、份三個角度全面、有序地講解圓柱和圓錐的關系，并據此安排了“圓柱與圓錐”這一內容的專題訓練課。
根據“變異理論”，教師需要通過展現不同維度的“變”，以呈現“不變”的關鍵屬性，從而讓學生全面、深刻地理解事物的關鍵屬性，并將事物的關鍵屬性融合到認知結構中，最終促進未來的學習和遷移。針對“圓柱和圓錐”這一內容，學生需要把握的關鍵點是：判斷圓柱和圓錐的關系，必須同時考慮高、底面積（或底面半徑）和體積這三個變量中的兩個。為了幫助學生理解這一關鍵點，我設計了四個教學環節。
一、強化等底等高的圓柱和圓錐的體積關系
在第一個教學環節，我通過例題引導學生運用已學知識。然后，借助線段圖，展示“份”“倍”和“比”三者的關系，以引導學生用不同的方式表述圓柱和圓錐的比例關系。
師：在等底等高時，你們能用線段圖表示圓柱和圓錐的體積關系嗎？（板書：等底等高）
師：觀察線段圖，在等底等高時，圓錐的體積對應的是幾份？圓柱的體積對應的是幾份？圓柱和圓錐的體積之和對應的是幾份？圓柱和圓錐的體積之差對應的是幾份？（板書：份）
生：在等底等高時，圓錐的體積對應的是1份；圓柱的體積對應的是3份；圓柱和圓錐的體積之和對應的是4份；圓柱和圓錐的體積之差對應的是2份。（如圖1所示）
師：在等底等高時，你是否能從“倍”的角度，完整有序地表述圓柱和圓錐的體積關系？（板書：倍）
生：在等底等高時，圓錐的體積是圓柱體積的1/3，圓柱的體積是圓錐體積的3倍；圓柱和圓錐的體積之和是圓錐體積的4倍，是圓柱體積的4/3；圓柱和圓錐的體積之差是圓錐體積的2倍，是圓柱體積的2/3。
師：在等底等高時，你是否能從“比”的角度，完整有序地表述圓柱和圓錐的體積關系？（板書：比）
生：在等底等高時，圓錐和圓柱的體積比是1：3；圓柱和圓錐的體積比是3：1；圓柱和圓錐的體積之和與圓錐體積的比是4：1，與圓柱體積的比是4：3；圓柱和圓錐的體積之差與圓錐體積的比是2：1，與圓柱體積的比是2：3。
二、逆向思考等體等底時，圓柱和圓錐的高的關系
在第二個教學環節，我通過一組精心設計的計算題，引出等體等底的條件下，圓錐的高是圓柱高的3倍的事實，然后通過用手指畫、觀察投影片、畫線段圖和語言表述等方法，使學生對圓柱與圓錐的高的關系有更加感性的認識。
師：我們學習數學，思維不僅要有序，更要可逆。這里有兩道逆向應用圓柱和圓錐體積公式的題目，誰會解？
[展示例題：一個圓錐體積是36立方分米，底面積是9平方分米，它的高是（ ）分米；一個圓柱體積是36立方分米，底面積是9平方分米，它的高是（ ）分米。]
師：在等底等高時，圓柱和圓錐的體積關系，明明是圓柱大，圓錐小，可是從兩道例題看，為什么圓錐高，圓柱矮呢？請比較這兩道例題的已知條件和計算結果，你發現了什么？為什么會出現這樣的結果？
生：在等體等底時，圓錐的高是圓柱高的3倍。
師：用手指在桌上畫一畫，這樣的圓柱和圓錐擺在一起會是什么樣子？誰能形容一下？（如圖2所示）
接下來，與第一個環節一樣，我借助線段圖，展示“份”“倍”和“比”三者之間的關系，以引導學生用不同的方式表述圓柱和圓錐的高的關系。
三、自主思考等體等高時，圓柱和圓錐的底面積的關系
在第三個教學環節，學生運用前兩個教學環節的學習過程和方法自主學習。我先提問，后總結。
師：我們已經研究了等底等高時，圓柱和圓錐的體積關系；等體等底時，圓柱和圓錐的高的關系；接下來，我們研究等體等高時，圓錐和圓柱的底面積關系。你會用線段圖表示它們之間的關系嗎？
師（總結）：通過觀察線段，我們發現無論是等底等高還是等體等底、等體等高的圓柱與圓錐之間都是一份和三份的關系。所不同的是：等底等高時，圓柱的體積是3份，圓錐的體積是一份；體積相等，高和底只有一樣不相等時，圓錐是3份，圓柱是一份。
四、運用圓柱和圓錐的關系解決問題
在第四個教學環節，我精心設計了一組練習題。
填空題：
一個圓柱和一個與它等底等高的圓錐的體積之和是24立方米，圓柱的體積是（ ）立方米，圓錐的體積是（ ）立方米。
選擇題：
有一個圓柱容器和幾個圓錐容器（如圖3所示），將圓柱內的水倒入（ ）圓錐內，正好倒滿。
應用題：
給舞臺設計一個背景（如圖4所示），請你算一下這個背景的體積（單位：米；只列式，不計算）。有幾種不同的算法？
上述練習題旨在培養學生靈活應用所學知識解決實際問題的能力。在設計練習題時，我試圖創設一定的問題情境，使學生將剛剛學習的有關圓柱和圓錐的關鍵屬性融合在一起，并觀察學生在既定的問題情境中能否綜合應用所學知識解決相關問題。
一、創設情境激發參與的主觀能動性
蘇霍姆林斯基說過：“在學生的心靈深處。無所不在使自己成為一個發現者、研究者、探索者的愿望”。如果激發這個愿望，啟動學生思維，讓學生對學習產生參與的興趣呢?我認為教師創設學習情境尤為重要。
1 創設民主的學習氛圍。葉瀾教授指出：“活躍、和諧、民主、平等、歡樂的課堂氛圍是學生潛能，創造性、積極健康的人生態度是生長發育的陽光、空氣和水”。這就要求教師創造民主的教學環境，把課堂還給學生，把自主還給學生，把童趣還給學生，倡導有錯必糾，包括教師、教材的錯誤；有疑必問，鼓勵大膽置疑和問難，使課堂有學生的情感、體驗、思維、創新，水融，讓孩子們豐富多彩的個性淋漓盡致地展現出來，健康的人格得到和諧全面的發展。
2 巧設游戲、激發學生的探究欲。愛玩是孩子們的天性，如何在學中玩、玩中學、培養學生的學習興趣，創設游戲情境，使學生在不知不覺中進入到新知識的學習中，達到寓教于樂的良好的教學效果。例如：教師在教學到計時時，設計了如下游戲，師說：“1、2。”生說：“2、1。”師說：“1、2、3。”生說：“3、2、1”師說：“老師愛同學們。”生說：“同學們愛老師。”這樣不僅激發了學生學習知識的積極性，而且在一種愉悅的氛圍中，通過游戲掌握了知識的要點。
3 教學設計的生活化。數學來源于生活，生活離不開數學，教師要打破“以綱為綱”“以本為本”的框框。根據教學內容，捕捉生活中的教學現象，積極引導學生發現問題、研究問題、激發學生自主探索、獨立思考的欲望。
二、開展小組合作學習、培養自主探索精神
傳統的教學只注重思考與集體訂正，而忽略了小組的合作交流，實際上，對于小學學生來說，小組合作是行之有效的學習方式之一，讓學生在寬松和諧的課堂中，互相交流、互相競爭，既增強了學生的合作意識，又培養了學生自主學習的能力。例如，教學“圓錐體積”，這是在學生已經掌握圓柱體的體積基礎上學習的，課前，教師讓學生分組準備了一個等底等高的圓柱容器。如下圖：
然后讓學生分組動手操作，把圓錐容器裝滿沙子倒進空的圓柱容器里，這樣倒三次，正好裝滿這個圓柱容器，學生通過分組操作試驗，發現圓柱的體積是與它等底等高的圓錐體體積的3倍，而圓錐體的體積是與它等底等高的圓柱體體積的3/1，同學們討論、交流，達成共識。圓柱體的體積公式學生已經掌握：V圓柱＝sh，所以學生推導出：V圓錐＝3/1sh，這一教學方法是以學生為主體，讓學生積極探索，分組合作，動手操作，討論交流，從操作中推導出圓錐體的體積公式，使他們從感性認識上升到理性認識。掌握了知識的形成過程，從而達到培養學生的創新思維目的。
當然，我們講合作學習，并不是完全否定了個人學習的獨立性，而是在體現獨立思考的基礎上的合作，注重在合作學習的形式下，各抒己見、互相交流，從中得到啟發，進而解決問題。
三、開放性的教學是自主探索的保證
心理學家洛馬斯指出：人類與生俱來的創新意識，由于后天過程中不予重視，任創新之火自生自滅。因此在數學教學中，我們不能畫地為牢，僅限于教材知識，而要在把握教學目的的基礎上，為學生提供開放的學習環境，鼓勵學生自行搜集信息，探究新知，發散學生思維，激發學生自主創新意識。
1 在教學設計上體現開放性。教學設計體現開放性主要包括以下幾方面：
(1)開放性地1使用教材，跳出教材對教學新思想的束縛，對教材知識的延伸，激發學生試圖探索的欲望。
(2)開放教學方法，把“有結論的教學”當成“未有結論的教學”來講授，循序漸進，留給學生發現與創造的空間。
(3)開放性地設計問題，“一題多解”“多題同解”“開放性題”等的設計在培養學生創造性思維方面起了很大的作用。
2 在教學過程中實現開放性。設計有趣的課內活動，“課程實施建設”中指出，教師應充分利用學生的生活經驗，設計生動有趣、直觀形象的數學活動，如講故事、做游戲、直觀演示、模擬表演等，激發學生的學習興趣，讓學生在生動具體的情意中理解和認識數學知識。
一、通讀教材，熟悉整體架構
課堂教學的有效性，主要取決于教師對教學內容的整體把握和掌控。對于課堂教學來說，只有當教師對教材進行整體把握以后，才能夠根據編排體系獲得相應的教學思路和教學策略，進而設計有效的教學環節，為學生思維的發展搭建合理的“腳手架”。
例如，教學“長方體的認識”一課時，針對長方體的透視圖，學生顯然存在理解上的難度，一方面是因為教材沒有單列專題進行研究，另一方面是由于學生的空間觀念還沒有建立有效的鏈接。而且，在平時的教學中，大多數教師對學生空間觀念的建構不予以重視，只是在講臺上隨便畫一下，導致學生的體會比較膚淺，容易造成認知誤區。針對這些現狀，我校在進行集體研討時對教材的整體架構做了分析，發現在二年級初次接觸平面幾何時，學生已經通過觀察物體認識到“從不同的位置既可以看到不同的形狀，也能看到不同的面，而且最多可以看到三個面”；而在三、四年級時，學生通過對物體的觀察，建立了空間觀念的初步認識――想要準確把握物體的形狀，可以從正面、上面和左側來觀察感受。
通過對教材編排體系的整體研討，我校教師對“長方體的認識”中長方體透視圖的教學設計做了如下改進：先讓學生上臺觀察長方體，看看從自己的角度能夠看到幾個面。學生根據自己所站的不同方向，可以分別看到正面、側面和上面。教師追問：“那么，從一個角度觀察，你最多能看到幾個面？長方體一共有幾個面？為什么最多只能看到三個面？”此時已有的認知經驗很快有了用武之地，根據之前學過的觀察物體的方法，學生發現長方體的六個面從一個方向觀察并不能全部看到，最多只能看到三個面，如果要在平面圖上表示出來的話，可以將看到的三個面直接畫出來，將看不到的面用虛線來代替表示。從上述教學可以看出，教師對教材有了系統的解讀和掌控，既突破了直觀認識的教學模式，又根據教材的整體編排體系，發揮了學生的已有經驗，還在溝通新舊知識間的聯系時，實現了思維的連接和拓展，使學生自主建立了空間觀念。
二、把握教材，設計有效活動
根據《數學課程標準》（2011版）對數學教學的要求，教師要在豐富學生學習經驗的基礎上，從有效的教學活動入手，使學生積累基本的數學活動經驗。這里有兩個方面的考量：其一，要引導學生掌握基本的數學知識和技能；其二，要促進學生的數學理解。這就需要教師對教材進行深入研究，并在讀懂、讀透的基礎上把握其中的重、難點，然后根據學生的認知特點，設計有效的教學活動。因此，在課堂教學中，教師要引導學生深入探究，積累有效的數學活動經驗，使他們自主建構數學概念。
例如，教學“圓錐的體積”一課時，根據以往的教學經驗，學生計算圓錐的體積時往往容易忽略公式中的■，原因何在？我從教材入手，發現其研究模式如下：先直接出示問題并引導學生圍繞問題形成初步猜想（圓柱體積=底面積×高，那么圓錐體積是它的幾分之幾呢），再讓學生通過實驗驗證的方法，發現圓柱和圓錐體積之間存在■的關系，最終推導出圓錐體積的計算公式，即V=■Sh。根據教材的安排，我發現了問題所在，很顯然，學生對■這個倍數關系的理解存在難度。那么，能否將教材中呈現與圓錐等底等高的圓柱的思路重新梳理，先讓學生自主發現這個特殊的圓錐是從同一個圓柱中得到的唯一一個與之同底等高的圓錐后，再進行兩者關系的猜測和推導呢？
由此，我設計了兩個教學活動：活動（1），讓學生通過學具進行動手操作和畫草圖，思考圓柱和圓錐體積之間的關系――將一塊圓柱形木材削成圓錐形，可以削成什么樣的圓錐？學生得到以下四種答案（如下圖），并得出結論：與圓柱同底等高的圓錐只有唯一的一個。
■
活動（2），讓學生觀察圖，并對等底等高的圓柱和圓錐體積之間的關系進行猜想。學生提出等底等高的圓柱和圓錐的體積之間存在倍數關系，有的認為是2倍，有的認為是3倍。此時，我進行追問：“是不是所有等底等高的圓柱和圓錐體積之間都有這樣的關系呢？”學生進行驗證操作，將圓錐中的水倒入圓柱后，發現圓柱中的水只有刻度的三分之一。這驗證了學生的猜測，并由此推導出了圓錐的體積計算公式，即V=■Sh。在隨后的練習環節中，我發現學生計算圓錐體積時沒有一人忽略公式中的■，并且很多學生根據自己的理解，知道Sh（即圓柱的體積）除以3的由來。上述教學，我從教材入手，把握學生的學習難點所在，并掌握其中的兩個關鍵：一是讓學生認識圓柱和圓錐在同底等高的條件下具有唯一性；二是讓學生建立圓錐和圓柱體積之間關系的猜想驗證模式，然后設計有效的活動來激活學生的思維，促進他們對概念的理解。
三、整合教材，促進思維發展
教材就好比是一個壓縮的范例，而教師的教學則是一個解壓縮的過程，不僅要將不同版本的教材進行整合，而且要根據學生的實際情況，在尊重文本的前提下超越文本，使學生獲得豐富的體驗和感悟，從而促進學生思維的發展。
例如，教學“正比例”一課時，學生的學習難點是如何通過數量的變化體驗，理解并確定變量之間存在的正比例關系。蘇教版教材并沒有針對兩種變化的量進行專門的內容過渡安排，但在北師大版教材中則有一個過渡課時。為此，我根據班級學生的實際情況，將北師大版教材中針對生活情境中的變量關系進行整合，作為幫助學生積累基本數學活動經驗的素材，喚醒學生看圖找關系的相關經驗，引導學生學會用聯系、變與不變的思維方式來表征變化的量。于是，我設計三個層次的活動豐富學生的思維表象：（1）出示生活中小明體重的變化圖（如下），讓學生學會用不同的觀察角度審視表格中的數據，培養學生的數學思維能力。
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（2）出示駱駝的體溫隨時間變化的圖（如下），讓學生感受變化量的特點，并與第（1）個活動進行關聯，培養學生的比較思維。
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（3）運用關系式理解并確定數量之間的關系（如下圖），使學生經歷語言文字敘述變量關系轉變為數學符號的過程。
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通過以上教學，學生對兩個變量之間的關系有了豐富的表征積累，使學生的觀察能力、分析能力得到發展，為進一步過渡到數學抽象思維做好鋪墊。
一、有效的氛圍
“知之者，不如好之者；好之者，不如樂之者”。學生的學習情感直接制約著學習的有效性。課堂中營造教學的和諧性，建構師生之間良好的情感關系，對于維持學生的學習興趣和注意力至關重要。根據皮亞杰與維果茨基建構主義學習理論的精髓：學習過程是一個學習者主動探究受刺激、積極參與意義建構和積極思維的過程。學習受學習者原有知識結構的影響，新的信息只有被原有知識結構所容納，也就是只有學習者感興趣的才能被學習者所學習。這種教育思想體現了對學習主體學生的尊重，要求教師適應學生來構建有效的學習氣氛，使教學活動成為解決學生學習中的各種困難和問題的過程。
在課堂教學中應突出學生的主體地位，最重要的是體現在學生“自主”基礎上的“互動”，小組合作時要營造“無威脅”的課堂氛圍。當發現學生注意力分散時，用微小的動作去暗示、提醒；當學生回答問題膽怯、畏縮時，用目光去鼓勵、支持，使他們產生被重視、被關注感。同樣好心情和豐富的面部表情縮短了師生間心靈的距離。創設有效的氛圍能讓每個學生有發表見解的均等機會，既能發揮集體的智慧，又能拓展思維的廣度和深度，增強學生獲取知識、自主探究的能力，還有利于培養學生的團結協作精神和交往能力，使活潑的學生更自信，令內向的學生更大膽。美國心理學家羅杰斯指出：課堂氣氛主要是教師行為的產物。所以，教師在創設教學情境時一定要考慮到情境氛圍創設的有效性。
在教學圓錐的體積時，一開始營造要解決現實生活中一堆黃沙的體積氛圍，讓學生有了進行探究的意愿，進而提出對圓錐體積的計算方法的研究，讓自己學生想出各種方法，這時學生會在自主的氛圍中提出各種方法，進而啟發學生：學過的物體有長方體、正方體、圓柱，究竟用哪個更合適呢？讓學生自己去商討解決的方法進而會想到在推導圓柱體積公式時，是將圓柱轉化成同底等高的長方體，那么什么樣的圓柱與圓錐聯系更緊密呢？此時再讓學生動手實驗，那么推導出圓錐體積公式也就水到渠成了。教師在活動中盡量與每一位學生進行積極的個人交流，認真傾聽和接受每一位學生對教學的正確想法。同時，師生雙方情感的溝通和協調、相互信任和合作關系的建立，需要教師以自身積極情感來感染和喚起學生的學習情感。
二、有效的時間
解放學生的學習的自和自由度，使學生有屬于自己的學習的時空。允許并鼓勵他們有不同的算法，尊重他們的想法，哪怕是不合理的，甚至是錯誤的，讓他們在相互交流、碰撞、討論中進一步明確算理。這個過程不可能一帆風順，教師必須為學生提供充分的時間作保證。也許讓學生自主探究雖然在時間上要比教師講解花費得多，也許做練習的數量會減少，也許有時甚至會來不及完成教學任務。因為這樣使得有些教師往往會在學生自主探究前，給學生進行鋪墊，看似明確了思維指向，提高了課堂教學效率，實質上是為學生設置了思維通道，縮小了探究的空間。實踐證明，沒有親身的體驗，沒有積極的活動，很多知識便如同“過眼云煙”，很難扎根在學生的腦海之中。“聽過的，忘記了；看過的，記住了；做過的，掌握了”。因此，我們要引導學生在充足、合理的時間中運用多種方法開展有效學習活動，就要能根據實際情況創設屬于學生的探索空間和時間。
在教學“圓錐的體積”時，讓學生分組做實驗，在空圓錐里裝滿沙子，然后倒入空圓柱里，看看幾次正好倒滿，并思考：從倒的次數看，兩者體積之間有怎樣的關系?各小組代表在學具箱中取實驗用的空圓錐、圓柱各一個，分頭操作。實驗后各小組匯報：有會出現三次正好倒滿，有四次正好倒滿，有不到三次就將圓柱裝滿了……學生議論紛紛，后來在學生的“指導”下重新選擇一對等底等高的圓錐和圓柱繼續實驗，三次正好倒滿。學生調換學具再試。追問：什么情況下，圓錐的體積是圓柱的三分之一?這時學生都明白了：等底等高，圓錐的體積是圓柱的三分之一。從一開始就沒有用傳統的方法：準備好等底等高的圓柱形和圓錐形容器來做裝沙實驗（以縮小學生探究的空間來節省教學的時間）。通過從不同學具選擇開始，為學生設置了一個真實的探索情境，讓學生通過對不同實驗情況的對比，主動觀察、思考，雖然實驗探究會浪費一定時間，但學生在探究的“等底等高”條件下，建構圓錐體積的計算方法的知識點應該是完整的。
三、有效的流程
課堂教學的核心是調動全體學生主動參與到學習全過程，使學生自主地學習、和諧地發展。學習過程是否有效，則是課堂教學是否有效的關鍵。教師應在教學設計時考慮好整堂課的流程。要遵循構建“問題―探究―解答―結論―問題―探究……”的開放式過程。在活動中學生是學習的主體，但我們也不得不承認，處于成長發展中的小學生，是不成熟的學習主體。由于受年齡、經驗、知識、能力的限制，他們提出問題、分析問題、解決問題的能力畢竟是有限的。
在圓錐體積教學設計時：整個過程首先由從現實的的問題一堆黃沙的大小計算引出，繼而提出圓錐的體積的計算方法解決，再通過各種器材的操作對比不同和結果得出計算的公式，最后應用計算方法來解決實際問題，這樣教師遵循了“現實題材――數學問題――數學模型――數學方法――解決問題”的過程來設計教學，引導學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型，并進行探索與應用的過程，使學生逐步學會用數學知識和方法解決生活中的實際問題。
四、有效的引導
有效的教學組織可以促使學生積極主動地、自發地（而非迫于外界壓力）去想象、思考、探索，去解決問題或發現規律，并伴隨著一種積極的情感體驗。這種情感表現為對于知識的渴求，對于客觀世界的探索欲望和激情，發現規律的興奮以及對教師的熱愛等等。這就要求教師來引導學生怎樣去有效地學習。
“圓錐體積的計算”一課，教材是讓學生用一組等底等高的圓柱和圓錐形容器，通過倒水或倒沙子實驗，發現圓錐體積等于和它等底等高的圓柱的1/3。這里必然要涉及兩個問題：怎么想到要用圓錐裝東西往圓柱里倒呢？為什么非要用一組等底等高的圓柱和圓錐形容器呢？如果這兩個問題沒有解決，那么學生的操作顯然缺乏思維含量，操作活動就只是為了發現一個數學結論。我在教學這部分內容時是這樣處理的：先舉起空的圓柱形容器，復習圓柱體積的計算方法。然后舉起裝滿水的不規則茶杯，提出問題：怎樣知道這杯水的體積？引導學生想到把水倒入空的圓柱形容器中，此時揭示“轉化”的解決問題的策略。接著舉起圓錐形容器，提出問題：怎樣知道這個圓錐的體積？學生自然想到將容器中裝滿水，倒入圓柱，再計算體積。第一個問題順利解決了。接下來進一步啟發學生：剛才我們用轉化的方法得到了這個圓錐的體積，但是有點遺憾，因為計算的數據全是圓柱的數據，能否用圓錐自己的數據呢？想一想有什么辦法？這樣的教學，就使操作活動與數學思考有機結合在一起了。
因此，在充分發揮學生主體性、主動性，重視讓學生學會學習、發展學生學習能力的今天，我們也應重視并充分發揮教師作為組織者、引導者、點撥者的作用。我們要在學生疑難處、意見分歧處，在知識、方法歸納概括時，充分發揮教師的引導作用，及時加以點撥指導。
五、有效的評價
學生學習的態度、情緒、心境與教師對學生的評價有著密切的聯系。數學課程標準指出：對學生數學學習的評價，既要關注學生知識技能的理解和掌握，更要關注他們的情感與態度的形成與發展；既要關注學生學習的結果，更要關注他們在學習過程中的變化和發展，幫助學生認識自我，建立信心。有效的評價，有助于學生認識自我、建立自信，有助于教師改進教學。
在課堂教學中，教師要善于捕捉學生身上隨時閃現的閃光點，給予及時、恰當的肯定與激勵，讓學生揚起自信的風帆，獲得良好的情感體驗。評價的首要原則應該是“客觀公正”，在這個基礎上，再堅持鼓勵為主，才是富有魅力有價值的評價。對每個問題、每個學生的評價不可輕易否定，不隨便說“錯”，否則就會挫傷學生的學習積極性。教學中教師還要承認學生數學學習的個體差異，積極地鼓勵和肯定每個學生的每一進步。
