時間：2022-11-14 23:39:33
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八年級下物理知識點1浮力知識點總結
1.浮力：一切浸入液體的物體，都受到液體對它豎直向上的力，這個力叫浮力。
浮力方向總是豎直向上的。(物體在空氣中也受到浮力)
2.物體沉浮條件：(開始是浸沒在液體中)
方法一：(比浮力與物體重力大小)
(1)F浮 < G ，下沉;(2)F浮 > G ，上浮 (3)F浮 = G ， 懸浮或漂浮
方法二：(比物體與液體的密度大小)
ρ物 < ρ液， 下沉;(2) ρ物 > ρ液， ， 上浮 (3) ρ物 = ρ液，懸浮。(不會漂浮)
3.浮力產生的原因：浸在液體中的物體受到液體對它的向上和向下的壓力差。
4.阿基米德原理：浸入液體里的物體受到向上的浮力，浮力大小等于它排開的液體受到的重力。
(浸沒在氣體里的物體受到的浮力大小等于它排開氣體受到的重力)
5.阿基米德原理公式：
6.計算浮力方法有：
(1)稱量法：F浮= G — F ，(G是物體受到重力，F 是物體浸入液體中彈簧秤的讀數)
(2)壓力差法：F浮=F向上-F向下
(3)阿基米德原理：
(4)平衡法：F浮=G物 (適合漂浮、懸浮)
7.浮力利用
(1)輪船：用密度大于水的材料做成空心，使它能排開更多的水。這就是制成輪船的道理。
(2)潛水艇：通過改變自身的重力來實現沉浮。
(3)氣球和飛艇：充入密度小于空氣的氣體。
八年級下物理知識點2壓強知識點總結
1.壓力：垂直作用在物體表面上的力叫壓力。
2.壓強：物體單位面積上受到的壓力叫壓強。
3.壓強公式：P=F/S
，式中p單位是：帕斯卡，簡稱：帕，1帕=1牛/米2，壓力F單位是：牛;受力面積S單位是：米2
4.增大壓強方法
:(1)S不變，F;(2)F不變，S (3) 同時把F，S。而減小壓強方法則相反。
5.液體壓強產生的原因：是由于液體受到重力。
6.液體壓強特點：(1)液體對容器底和壁都有壓強，(2)液體內部向各個方向都有壓強;
(3)液體的壓強隨深度增加而增大，在同一深度，液體向各個方向的壓強相等;(4)不同液體的壓強還跟密度有關系。
7.-液體壓強計算公式：，(ρ是液體密度，單位是千克/米3;
g=9.8牛/千克;h是深度，指液體自由液面到液體內部某點的豎直距離，單位是米。)
8.根據液體壓強公式：可得，液體的壓強與液體的密度和深度有關，而與液體的體積和質量無關。
9.證明大氣壓強存在的實驗是馬德堡半球實驗。
10.大氣壓強產生的原因：空氣受到重力作用而產生的，大氣壓強隨高度的增大而減小。
11.測定大氣壓強值的實驗是：托里拆利實驗。
12.測定大氣壓的儀器是：氣壓計，常見氣壓計有水銀氣壓計和無液氣壓計(金屬盒氣壓計)。
13.標準大氣壓：把等于760毫米水銀柱的大氣壓。
1標準大氣壓=760毫米汞柱=1.013×105帕=10.34米水柱。
14.沸點與氣壓關系：一切液體的沸點，都是氣壓減小時降低，氣壓增大時升高。
15.流體壓強大小與流速關系：在流體中流速越大地方，壓強越小;
流速越小的地方，壓強越大。
八年級下物理知識點3力知識點總結
1.什么是力：力是物體對物體的作用。
2.物體間力的作用是相互的。
(一個物體對別的物體施力時，也同時受到后者對它的力)。
3.力的作用效果：力可以改變物體的運動狀態，還可以改變物體的形狀。
(物體形狀或體積的改變，叫做形變。)
4.力的單位是：牛頓(簡稱：牛)，符合是N。
1牛頓大約是你拿起兩個雞蛋所用的力。
5.實驗室測力的工具是：彈簧測力計。
6.彈簧測力計的原理：在彈性限度內，彈簧的伸長與受到的拉力成正比。
7.彈簧測力計的用法：(1)要檢查指針是否指在零刻度，如果不是，則要調零;
(2)認清最小刻度和測量范圍;(3)輕拉秤鉤幾次，看每次松手后，指針是否回到零刻度，(4)測量時彈簧測力計內彈簧的軸線與所測力的方向一致;⑸觀察讀數時，視線必須與刻度盤垂直。(6)測量力時不能超過彈簧測力計的量程。
8.力的三要素是：力的大小、方向、作用點，叫做力的三要素，它們都能影響力的作用效果。
9.力的示意圖就是用一根帶箭頭的線段來表示力。
具體的畫法是：
(1)用線段的起點表示力的作用點;
(2)延力的方向畫一條帶箭頭的線段，箭頭的方向表示力的方向;
(3)若在同一個圖中有幾個力，則力越大，線段應越長。有時也可以在力的示意圖標出力的大小，
10.重力：地面附近物體由于地球吸引而受到的力叫
重力。重力的方向總是豎直向下的。
11.重力的計算公式：G=mg，(式中g是重力與質量的比值：g=9.8牛頓/千克，在粗略計算時也可取g=10牛頓/千克);
重力跟質量成正比。
12.重垂線是根據重力的方向總是豎直向下的原理制成。
13.重心：重力在物體上的作用點叫重心。
14.摩擦力：兩個互相接觸的物體，當它們要發生或
已經發生相對運動時，就會在接觸面是產生一種阻礙相對運動的力，這種力就叫摩擦力。
15.滑動摩擦力的大小跟接觸面的粗糙程度和壓力大小
有關系。壓力越大、接觸面越粗糙，滑動摩擦力越大。
16.增大有益摩擦的方法：增大壓力和使接觸面粗糙些。
減小有害摩擦的方法：(1)使接觸面光滑和減小壓力;(2)用滾動代替滑動;(3)加油;(4)利用氣墊。(5)讓物體之間脫離接觸(如磁懸浮列車)。
八年級下物理知識點4簡單機械知識點總結
1.杠桿：一根在力的作用下能繞著固定點轉動的硬棒就叫杠桿。
2.什么是支點、動力、阻力、動力臂、阻力臂?
(1)支點：杠桿繞著轉動的點(o)
(2)動力：使杠桿轉動的力(F1)
(3)阻力：阻礙杠桿轉動的力(F2)
(4)動力臂：從支點到動力的作用線的距離(L1)。
(5)阻力臂：從支點到阻力作用線的距離(L2)
3.杠桿平衡的條件:動力×動力臂=阻力×阻力臂.或寫作：F1L1=F2L2
或寫成。這個平衡條件也就是阿基米德發現的杠桿原理。
4.三種杠桿：
(1)省力杠桿：L1>L2,平衡時F1
(2)費力杠桿：L1F2。特點是費力，但省距離。(如釣魚杠，理發剪刀等)
(3)等臂杠桿：L1=L2,平衡時F1=F2。特點是既不省力，也不費力。(如：天平)
5.定滑輪特點：不省力，但能改變動力的方向。
(實質是個等臂杠桿)
6.動滑輪特點：省一半力，但不能改變動力方向,要費距離.(實質是動力臂為阻力臂二倍的杠桿)
7.滑輪組：使用滑輪組時,滑輪組用幾段繩子吊著物體,提起物體所用的力就是物重的幾分之一。
八年級下物理知識點5運動和力知識點總結
1.牛頓第一定律：一切物體在沒有受到外力作用的時候，總保持靜止狀態或勻速直線運動狀態。
(牛頓第一定律是在經驗事實的基礎上，通過進一步的推理而概括出來的，因而不能用實驗來證明這一定律)。
2.慣性：物體保持運動狀態不變的性質叫慣性。
牛頓第一定律也叫做慣性定律。
3.物體平衡狀態：物體受到幾個力作用時，如果保持靜止狀態或勻速直線運動狀態，我們就說這幾個力平衡。
當物體在兩個力的作用下處于平衡狀態時，就叫做二力平衡。
第一次月考還是來了，它真的是一面鏡子把這段時間的學習都照得清清楚楚，下面是小編為大家整理的關于第一次月考的總結范文，希望對你有所幫助，如果喜歡可以分享給身邊的朋友喔!
第一次月考的總結范文1剛升入初中的我，對一切新事物都很好奇。而初中的學習也改變了很多。政治地理以及小學從未接觸過的生物歷史，也變成了主要的科目。
還記得上學大概一個多月了，我們要進行一次月考，老師一周前就對我們說了，可我的“讀書”方法，只是大概的瀏覽一邊，作業寫完了就睡覺了。
上課的時候，老師講的一切重點知識，我只記在了一個本子上，大概意思不是很明白。地理課，我是一點也不明白，老師留作業，我都是照同學抄的，除了地理外，別的課都還行。
一周的時間，很快就過去了。在月考的前一晚，我先看了看語文書，看了古文部分，每篇文章的作者朝代都是沒什么問題的。例如《木蘭詩》選自《樂府詩集》作者是宋代郭茂倩等等，這些文學常識我都會背。所以，由只會文學常識的語文有轉向了數學。數學可以說是我的強項，因為我是數學課代表，所以數學我沒總復習，只是翻了幾頁。該到英語了，英語我是一點也不會，可以這么說，英語認識我，我不認識英語，在這種情況下，我只背了單詞。之后的時間我看了看小說等。月考的前一天我是這么度過的。
到了月考這一天，我有一些緊張。有什么我會的題也答錯了，可能因為緊張的關系，也可能因為我沒復習好埃數學題我太過自信，而算錯很多題。成績下來后我真的很失望。
月考讓我明白了，考試之前要好好復習。
第一次月考的總結范文21.失去信心
“不知道怎么回事，一上數學課就覺得沒勁，但又覺得自己應該認真聽講，所以有些懼怕。上數學課感覺心里很煩躁，上課效率也減半了。”
“多次以來，數學考試成績都很不如意，我對數學失去信心了。甚至開始害怕數學，有時也對老師產生一種莫名的害怕。”
2.不努力，不認真
“上課沒有好好抓進課堂四十分鐘的'時間，課后沒有好好復習，做作業馬馬虎虎，課外輔導書更是沒有認真做過，純屬應付。”
3.知識點梳理不夠
“我固然做到了學，但沒有做到想，甚至從來不思考。”
“我現在終于發現思路、思維比解題更重要。”
4.時間不夠
“當我決定中午問老師問題時，可不巧，英語老師來了!而且整整三節晚自修家作都來不及做，更何況解決疑難呢?”
5.不能、不會問問題
“還是和以前一樣，有問題沒有問老師，因為我怕我問的問題太簡單，可能由于這樣想，使我的困難越積越厚，可我就是不敢問。有這心，沒這膽。”
6.“失誤”不斷
“每次考試我都很緊張。又是一個很簡單的題目或式子我也看很多遍，如12 + 36 = 48我都要算兩遍，就怕算錯。”
事情過了好久了，好在我這次期末又扳了回來，耶!我要做到勝不驕，敗不餒!
第一次月考的總結范文3一陣揪心的鈴聲響過，我的心也變得忐忑不安起來，“咚咚，咚咚……”老師的腳步聲越來越近了，這時老師走進了教室。喧鬧的教室里馬上變得鴉雀無聲，連自己的呼吸聲都聽得一清二楚。突然，月考試卷就如雪花一般飛來。這是自從我轉學以來的第一次月考，也是人生中的第一次。
考試時，我心中就如有一只活蹦亂跳的小兔子，在不停地奔跑著、跳著，使我的心砰砰的跳，心里七上八下，如激蕩的湖水一樣不平靜。我一次又一次的警告自己：一定要認真，不能馬虎。正當我寫完基礎題和閱讀題要開始寫作文時，筆突然沒墨了，我的心慌了：怎么辦。我該怎么辦呢?我停了下來。猛然間，我才發覺我應該還有一只備用的，我忙打開鉛筆袋，將那只備用的筆拿了出來。我慌慌忙忙地寫著，生怕馬上要收卷了，不一會兒就收了筆。望著前面的字跡，這才發覺我寫的字太過于潦草、太小，又用了修正帶，這肯定又會扣個一分兩分的。心中充滿內疚，后悔得不得了。
考試時的教室里，同學們正全神貫注的寫著試卷，教室里沒有聲音，只有沙沙寫字聲，人人都“埋頭苦干”，有的咬著筆頭思考問題，有的正文思如泉，把想好的答案寫在試卷上，有的因為想不出答案而雙眉緊鎖，有的為大功告成而欣喜若狂。
“收卷。”突然，老師一聲令下，我顫抖得交了卷，坐在位子上回憶著考試試卷上內容和題目。我的耳朵中灌滿同學們議論考試試卷答案的聲音，我聽不下去，也不想去同他們一起討論。生怕我會提前知道我要考砸了的消息。
第一次月考的總結范文4初中的第一次月考成績已經出爐，語文92分全班第一，數學98分居次席，英語100，綜合91，第一次月考的反思。這看似良好的成績，其中還藏著小小的遺憾，這些遺憾都是由疏忽大意造成的。
先說語文，除去作文扣的四分，其余的四分丟的真不就應，兩道題回答不完整各扣一分，一道沒加引號扣一分，一道“畫蛇添足”扣掉一分。我如果能一絲不茍的去完成它們，語文成績豈不是一個多么可觀的數字?
數學的馬虎更不就應，一失手成千古恨，把x的絕對值當成了x，雖說一個是對的，但把絕對值弄成個負數，簡直心里后悔地像老鼠在撓。唉，只能怪自我太大意了吧。
歷史部分更是大傷元氣，司母戊鼎的歷史地位如何一題，標準答案是世界上現存最大的青銅器，可我粗劣加工寫成了世界上最大的鼎，這還不算，我在后面加上了四個字——用于祭祀，本該扣一分，因為它們四個又扣掉一分。
生物別提，43分，要不是歷史的的頑強抵抗，綜合否則失守90分，生物課代表沒戲了。
月考的一系列失誤，由于馬虎失分的多，把自我會做的做錯，不后悔才怪呢!以后類似的錯誤不要再犯，無論做什么馬虎總會耽誤大局。第二“畫蛇添足”讓我吃虧不少，復習資料的時候，要把每個知識點弄清、搞明白，每一天學過的知識要及時溫習。溫故而知新，能夠為師矣。
月考，其實并不是多么難，認真、細心的態度會造就一切。
第一次月考的總結范文5光陰似箭，日月如梭，第一次月考落下帷幕。排名和不理想的成績，不由得引起我的深思。
在楓楊的第一個月里，完全可以說我在學習上一點沒有用心!教師布置的作業，我僅僅按照最低標準完成。我沒有做到預習復習，課堂上也沒有專心致志，一絲不茍地聽講，大腦死氣沉沉。這樣的聽課狀態，我的學習效率能高嗎?對于平日的練習，我絲毫沒放在心上，總會有一兩個小錯誤。所以到月考時，我與那些認真的同學的差距就很明顯。在空余的時間里，我不是跟同學說話，就是想著該怎么玩。于是，我又浪費掉不少時間。就連月考前的國慶長假里，我依舊沉迷于歡樂之中，書本沒有碰過一下。我這樣做的結果只有一個——我的成績如坐滑滑梯般直線下滑，我被遠遠地甩在了第40名!
語文是我這次月考最不理想的一門。79分，讓我明顯感到自己的差距。我必須端正我的學習態度!課內知識一定要記牢，下次絕對不能再錯。閱讀理解失掉13分!教師講的做題方法要用心記，用心體會。93分的數學卷子完全沒考出我的水平。我還有很大提分的空間。要復習錯題，重視平時練習。英語，我認為是最不該錯的，下次考試要考100分。學習時要注意力集中，提高效率。對于“史地政生”4門課，我以為只要感興趣，就可以學好。這4門課的學習方法是把知識背下來，記牢。
一、標點符號不合乎規范
1.無疑而問的陳述句，句尾誤用問號
八（上）第10課余秋雨的《信客》，導引中：“熟讀課文，體察信客的語言、行動和心理，看看他們具有什么樣的品格和精神；同時看看周圍，有沒有這種類型的人？”句中的問號使用不合乎規范。本句是無疑而問的陳述句，句末應該用句號。像這種類型的句子在第16課《大自然的語言》和第21課《桃花源記》的導引中均有出現。如：“閱讀本文，想一想，作者是怎樣用準確的語言和清晰的條理把一門復雜的學科介紹清楚的？”“讀后還要仔細想想，對作者的理想應當怎樣認識，這個故事為什么具有長久的魅力？”兩句的句末都誤用了問號。
2.總括句前面誤用逗號
八（上）第26課酈道元的《三峽》，第一段中的“隱天蔽日”與“自非亭午夜分”之間不應該用逗號，而應該用冒號。因為“自非亭午夜分，不見曦月”是對前面所有內容的總結。“自三峽七百里中，兩岸連山，略無闕處”是在寫“嶺連”；“重巖疊嶂，隱天蔽日”是在寫“山高”。因為“山高嶺連”，所以才有“自非亭午夜分，不見曦月”的效果。也就是說最后這兩句是對前文進行總括的語句，冒號用在總括語的前面，表示總結上文，逗號沒此功用。
3.連詞前誤用頓號
八（上）第29課張岱的《湖心亭看雪》，“湖心亭一點、與余舟一芥”中間使用頓號不恰當。連詞前面不能用頓號，可根據不同句子的情況，或者刪去頓號，或者改用逗號。雪后的西湖已成為一片大的冰雪世界，“湖心亭一點”和“余舟一芥”是在大的背景烘托之下出現的小事物，這兩個小事物屬于并列關系。既然是并列關系，“、”和“與”就不應該同時用。另外本文中的“霧凇沆碭，天與云與山與水，上下一白”中的“天”“云”“山”“水”屬并列關系，它們之間只用了“與”來連接，而沒有同時用“、”和“與”來連接。從這里也可以看出，此文的標點符號出現前后矛盾之處！
二、文言字詞解釋有誤
1.“船底”被解釋成“船頂”
八（上）第23課魏學的《核舟記》中“其船背稍夷，則題名其上”，“船背”該如何解釋？在課本P180的課下注解⒄中，它的意思為“船的頂部”。但在商務印書館出版《古漢語常用字字典》（第4版）中標注的義項為“脊背，泛指物體的背面，反面”。針對此種義項，有很多人認為船的背面就是船的頂部。看起來似乎有道理，但實際上又不經推敲。它的義項中除了“泛指物體的背面”外，還有“反面”之意。船的反面應該是哪里？我認為船的反面不是船的頂部，而應該是船的底部。在外語教學與研究出版社出版的《古漢語詞典》中，“背”的義項為“物體的反面或物體朝后、朝下的一面”，并且后面附著“其船背稍夷，則題名其上”這個示例。那么在此文中，這個“背”的義項就應該是“船的反面”或者“船的底部”。按正常的邏輯來判斷，船的正面應該是人們第一眼就能看到的船身和船頂，而船的反面就是船的底部。除詞典上的釋義外，我們再結合語境來分析：如果按照“船的頂部”來解釋，那么船的頂部應該為船艙的頂部。如果船艙的頂部不算高，在高度上來講，坡在上面題字還是有可能的。但是本文中的“中軒敞者為艙”的意思卻為“中間高起而寬敞的部分是船艙”，有“高”和“寬敞”，想必蘇軾在上面題字還是比較困難的。除了高度外，還有一句“箬篷覆之”，意思是“用箬竹葉做的船篷”。既然已經有船篷了，就說明船艙的頂部已經雕刻了箬竹葉。把箬竹葉和題名刻在一起， 題名如何能達到文中所說的“細若蚊足，勾畫了了”的效果？從美觀上來看，古人的文章、畫等作品題目落款時往往都會選擇左下角，避免沖淡作品的主題。魏學在雕刻這幅圖景時應該會考慮蘇軾的題名放在船的底部更合適，若蘇軾題在船艙頂部就有喧賓奪主之嫌了。所以結合語境來看，“背”應該解釋為“底部”。
2.“更定”被解釋為“定更”
八（上）第29課張岱的《湖心亭看雪》，“更定”釋為“指初更以后，晚上八點左右”。就目前來看，杭州西湖冬天在晚上六點左右天黑。在崇禎五年即1632年，晚上八點左右就是初更，而“更”是夜里的計時單位。這說明此時已經天黑。既然已經天黑，如何能看到“霧凇沆碭，天與云與山與水，上下一白；湖上影子，惟長堤一痕、湖心亭一點、與余舟一芥、舟中人兩三粒而已”的景象？特別是在古代野外的夜晚，沒有照明的情況下，作者如何能看到“上下一白”的效果？另外，本文中的 “更定”是《現代漢語詞典》中提到的“定更”嗎？是否是譯者將二者混為一談了？“定更”在《現代漢語詞典》中的解釋為“舊時晚上八點鐘左右，打鼓報告初更開始”。而在依據最新中學語文教材編寫的《古漢語詞典》中查到了“更定”，它的義項為“更深夜靜”，而且舉的例子就是本文中的“是日更定矣”。《古漢語詞典》中“更”的義項為“夜里的計時單位，一夜分為五更，每更約兩小時（后起意義）”。《中學文言文多用詞典》中“定”的義項為“人聲靜謐”，針對此義項所舉的例子也是此文中的“是日更定矣”。“矣”的義項為“語氣詞，相當于現代漢語的‘了’”。綜合上面各個義項，先從“人聲靜謐”入手去分析，雖然深夜比較安靜，但是古代晚上還是有打更的人出來打更，有打更的聲音和打更人提醒大家防范的喊聲。每兩小時一次，還無法達到人聲靜謐，只有當五更都打完了，即到了早上五六點那樣才真正的安靜下來。再加之“矣”是“了”之意，表完成時態。“更”可以理解為“打更”，“矣”修飾“更”，意為“打更完畢”。那么“更定矣”的意思就是“所有的打更聲結束后，人聲靜謐”。這時大概是早上五六點，而在杭州冬天日出的時間也剛好是五六點左右。在日出之后，作者出門才有可能看到“霧凇沆碭，天與云與山與水，上下一白；湖上影子，惟長堤一痕、湖心亭一點、與余舟一芥、舟中人兩三粒而已”這些景象。
3.“郁郁”被解釋為“形容草木茂盛”
八（下）第27課范仲淹的《岳陽樓記》，課下注解“郁郁”的意思為“形容草木茂盛”。但是商務印書館出版的《古漢語常用字字典》（第4版）中標注為“香氣濃烈的樣子”，針對此義項所舉的例子恰巧就是本文中的“岸芷汀蘭，郁郁青青”。我認為應該翻譯為“香氣濃烈的樣子”。按照語境便可分析出來，“岸芷汀蘭，郁郁青青”中的“岸”譯為“岸上”。“芷”即白芷，香草名，可入藥也可做香料，白芷枝葉呈青色。“汀蘭”譯為“小洲上的蘭花”，蘭花的枝葉也呈青翠色。由此可判斷出，白芷和蘭花發出濃烈的香氣，呈現出一片青蔥翠綠的顏色。所以此兩句應該翻譯成“岸上的香草，小洲上的蘭花，香氣濃郁，顏色青翠”。
4.“極”被解釋為“盡”
八（下）第27課范仲淹的《岳陽樓記》中 “北通巫峽，南極瀟湘”，意思為“北面通向巫峽，南面直到瀟湘”。 從修辭角度分析，應該是對偶句，即“通”與“極”的詞性一致，都是動詞。課本的課下注解“極” 被解釋為“盡”，那么“盡”作為動詞時有三個義項：①完，消失；②竭盡；③結束，完成。把這三個義項都帶入原句中進行翻譯，明顯不合語法規范。“極”作為動詞時有一個義項是“至，到達”。我認為此處的“極”翻譯成“至，到達”或“到，到了”更合適。
三、表意不明
1.小說中的“我”被表述成“作者”
八（上）第8課李森祥的《臺階》的體裁是小說，文中的“我”并不是作者本人，而在P67導引中的“作者是懷著怎樣的心情敘述父親的故事的”一句表意不明，易讓人產生“作者”就是“我”的誤解。此處不妨改成“作者是懷著怎樣的心情敘述文中‘我’的父親的故事的”。
2.并列謂語服務于同一個主語導致語意不明
在八下第25課的導引中，有一處文字“這些作品撫今追昔，慷慨悲憤，感時傷懷，思親憂國”表意不明，它的表述容易誤導讀者認為這課中所有的詩詞曲都是“撫今追昔，慷慨悲憤，感時傷懷，思親憂國”的，但事實卻不是這樣。劉禹錫的《酬樂天揚州初逢席上見贈》表達詩人長期被貶異地的悲憤心情，但更引人注目的是詩人對人生的達觀態度和積極進取的精神。杜牧的《赤壁》抒發了詩人懷才不遇的抑郁不平之情和歷史興亡之感。文天祥的《過零丁洋》表現的詩人憂國之痛和愿意以死明志、為國捐軀的豪情壯志。蘇軾的《水調歌頭?明月幾時有》寄托了詞人對親人的無限思念之情，表現出其不為失意和離別所苦的曠達胸襟。張養浩的《山坡羊?潼關懷古》表達了作者的悲憤傷感之情，揭示出人民悲慘命運的根源所在。綜上所述，各首有各自的感情特點，因此導引應在“撫今追昔”“慷慨悲憤”“感時傷懷”和“思親憂國”的前面各加一個“有的”，這個句子就變成“這些作品有的撫今追昔，有的慷慨悲憤，有的感時傷懷，有的思親憂國”。這樣的表述才夠準確。
四、對內容分析不當
關鍵詞： 教材資源 數學思想 數學思維 數學方法
一、課題研究的現實背景和意義
日本著名數學教育家米山國藏在《數學的精神、思想和方法》一書中曾指出：“在學校學的數學知識，畢業后若沒什么機會去用，一兩年后很快就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們終生受益。”這是數學教育家結合學習和數學研究的切身體驗對教師提出的肺腑之言。然而長期以來，可能由于受應試教育和傳統教學思想的影響，一些教師只關注學生對知識的理解與掌握，只重視他們解題能力的提高，而忽視從這些知識的掌握和運用中歸納、提取數學思想的能力，從而使學生感覺到數學越來越難學，甚至會談“數”色變，認為數學就是一堆冷冰冰的數字和奇特符號的組合，數學學習留給他們的只是“枯燥、繁難”的回味。事實上，這是學生受教師的不良影響，歪曲了對數學本質的理解。
首先，從學科本身的特點來看，數學不僅僅是傳授給學生數學知識，更重要的是培養學生的數學思想方法。數學思想方法一般有兩種：一是數學思維方法，這是數學方法中較高層次的方法，是數學中思考問題的方法，它必須一開始就逐步滲透。二是數學解題方法，這是數學解題的通法，相對于特殊的解題技巧而言，它今后有系統學習。數學學習的目的之一在于訓練學生的數學思維，培養學生良好的學習數學的品質，以及科學的世界觀和方法論，使學生能面對客觀現實，能用數學的方法進行分析，從而使問題得以解決。
其次，從教學現狀看，數學思想方法的教學不受重視。相當一部分教師在教學目標中只注重知識與技能的達標，根本沒有把數學思想方法納入目標體系，即使納入也只是在課堂上提提名而已。
再次，從數學教材體系看，整個數學教材中貫穿兩條主線，一是寫進教材的基礎的數學知識，它是明線，一貫很受重視。另一條是數學能力培養和數學思想方法的滲透，這是條暗線，對學生的成長十分重要，但往往被忽視。現在教學中存在重視知識達標評價，輕視數學思想形成的評價；重視學生眼前的分數利益，輕視學生的長遠素質發展等問題。一些教師對數學思想方法的理解不透徹，造成數學思想方法的滲透在課堂教學中短時期難以見成效。因此，在教學中數學思想方法的教學難以規范有序地展開，教學實踐中僅僅關注雙基的落實，滿足學生考試分數的提高，忽略對學生數學思維品質的關注，導致學生思維發展的差異，且后續發展的差異越來越大，這種差異將直接影響學生今后數學學習的興趣和解決其他問題能力的發展。教材里各個章節里隱含很多數學思想方法，教師作為組織者、引導合作者，必須重視數學思想方法在日常教學中的有機滲透，只有將無形的數學思想方法貫穿到有形的數學知識之中，才有利于從整體上把握數學教學目的，將數學知識形成的過程、解決問題的過程展示給學生，將思維的方式方法展現給學生。
基于上述分析，我們抓住數學學科的本質與靈魂，以數學的精神、思想、方法為突破口，提出“依托新教材培養學生數學思想的實踐研究”這一課題，通過這一課題的研究挖掘數學教材中的有機資源，促進學生對數學知識和技能的深入理解，提高他們對數學思想的領悟能力，真正提高他們的數學素養，實現數學學習的可持續發展。
二、課題研究的前提思考
（一）新教材指的是浙江教育出版社出版的7-9年級義務教育課程標準實驗教科書。
（二）數學思想是指人類對數學對象及其研究的本質和規律性認識。它是在數學活動中解決問題的觀點和根本想法，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，并在認識活動中被反復運用，帶有普遍指導意義，是建立數學和運用數學工具解決問題的指導思想。數學界對數學思想方法還有一些觀點上的分歧，包含范圍比較廣泛，但并不影響本課題的研究。本課題的數學思想主要定位于通過挖掘教材中的資源滲透符號化、函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸與轉化思想與數學模型思想這五類常用的數學思想。
（三）數學思想和數學方法之間的關系。數學方法是指人們從事數學活動的程序、途徑，是實施數學思想的技術手段，也是數學思想的具體化反映。所以說，數學思想是內隱的，而數學方法是外顯的，數學思想比數學方法更深刻，更抽象地反映數學對象間的內在聯系。由于數學是逐層抽象的，數學方法在實際運用中往往具有過程性和層次性等特點，層次越低，操作性越強。如變換方法包括恒等變換，恒等變換中又分換元法、配方法、待定系數法等。
數學思想和數學方法有區別也有聯系，首先，兩者都以一定的數學知識為基礎。其次，兩者具有抽象概括程度的不同，表現出互為表里的關系。數學方法受到數學思想的指引，是數學思想在數學活動中的反映和體現，表現形式外顯；數學思想是相應數學方法的結晶和升華，表現形式內隱。數學思想往往帶有理論性的特征，而數學方法具有實踐性的傾向。一般來說，強調指導思想時稱數學思想，強調操作過程時稱數學方法。由于人們在數學學習與研究活動中，很難把思想和方法嚴格區分開，因此常統稱為數學思想方法。
（四）數學思想的主要特征。
1.導向性。數學思想的導向性是指研究數學和解決數學問題的指導思想，是數學思維的策略。數學思想的導向性表現在它既是數學產生和發展的根源，又是建立數學體系的基礎，還是解決具體問題“向導”。正如日本學者米山國藏所說：“數學的精神、思想是創造數學著作，發現新的東西，使數學得以不斷地向前發展的根源。”比如極限思想既是微積分理論的基礎，又是解決許多數學問題的重要方法。在解決具體問題中，數學思想往往起主導作用，尤其是它對產生一個好“念頭”、一種好“思路”、一種好“猜想”提供方向。當然，數學思想在指示解題的方向時，還為數學方法的具體實施留有應變的余地。
2.統攝性。數學思想對于具體的數學知識和方法具有巨大的凝聚力，它是聯系知識的紐帶，具有舉綱張目的作用。數學思想的統攝性主要表現在兩個方面：一是優化數學知識結構。雖然數學知識數量的不同是影響學生數學能力的一個方面，但是，即使有同樣數量的知識點的學生，由于知識點之間聯系結構的差異，也會造成數學能力發展不平衡。二是發展數學認知結構。數學思想在知識轉化為能力的過程中起重要的中介作用。如果說能力是知識的結晶的話，那么思想往往起著結晶核的作用。學生在學習教材中的定義、定理、公式等外顯知識時，若未能了解這些知識所蘊含的數學思想，則很難真正理解知識，因而就會出現數學知識學了不少，但由于缺乏數學思想的統領，知識沒有活性，能力卻得不到發展的現象。另一方面，數學思想將分散的知識吸附起來，組成一個整體，并且能像滾雪球那樣越滾越大。
3.概括性。人們的理性認識之所以高于感性認識，是因為理性認識能反映、揭示事物的普遍的必然的本質屬性和聯系，這就是理性認識的一大特點。數學思想在這方面具有突出的表現，即數學思想具有較高的概括性。概括性程度的不同決定數學思想有層次之分，概括化程度高，其“抽象度”大；對數學對象本質屬性揭示得越深刻，對問題的理解就愈透徹。數學思想的概括性還表現在客觀存在，能反映數學對象之間的聯系和內部規律上。
4.遷移性。高度的概括性導致數學思想具有廣泛的遷移性。這種遷移性表現在數學內部：數學思想是數學知識的精髓，這是數學知識遷移的基礎和根源，是溝通數學各部分、各分支間聯系的橋梁和紐帶，是構建數學理論的基石。這種遷移性表現在數學外部：能溝通數學與其他科學、與社會的聯系，產生更廣泛的遷移。
三、依托新教材培養學生數學思想的實踐與研究
數學思想的培養、發展、形成是以數學知識為載體，通過問題解決體現的，所以數學思想方法的教學要以學生接受知識的全過程加以滲透，以便逐漸形成。
（一）數學思想形成的過程
從認識論的角度看，對客觀事物的認識，必須經歷“具體―抽象―具體”，即從感性的具體到抽象的規定，再從抽象的規定上升到思維中具體的過程。
對數學的認識所形成的“感性的具體”是指掌握某部分數學內容，如具體的概念、定理、公式、法則等。“抽象的規定”是指掌握某些數學思想或數學方法。認識過程達到的“思維中的具體”則是指數學認知結構的形成。
從上圖可以看出數學思想形成必須經歷掌握數學基礎知識、明確其中的數學思想和數學方法、建立良好的數學認知結構這一過程。數學思想的形成主要來自于以下渠道：
1.在知識發生中挖掘數學思想方法。
在教學過程中，要注意知識的形成過程，特別是定理、性質、公式的推導過程和例題求解的過程，數學思想和數學方法就是在這個過程中形成和發展的。
（1）在概念、定理的講述中呈現數學思想方法。
概念是思維的細胞，是感性認識飛躍到理性認識的結果，而飛躍的實現要經過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工，需依據數學思想方法的指導。因而概念教學應當完整地體現這一過程，引導學生揭示隱藏于概念之中的思維內核。如“有理數”一章就是最好的例證，學生初次接觸負數、相反數、絕對值等抽象概念時，往往理解上有困難，如果能有機地滲透數形結合思想，通過數軸幫助理解就可以降低理解這些概念的難度。
（2）在規律、法則的推導運用中引進數學思想方法。
在定理、性質、法則、公式、規律等的教學中要引導學生積極參與這些結論的探索、發現、推導的過程，不斷在數學思想方法指導下，弄清每個結論的因果關系，最后引導學生歸納得出結論。如，學生在學習一元一次方程的解法時，如果只是讓學生注意解一元一次方程的步驟，即去分母、去括號、移項、合并同類項等，而未掌握解一元一次方程的思想――求出一個與原方程同解的且解是明顯的方程，即ax=b（a≠0），那么學生對這一思想的精髓就不會真正領悟，對解方程的認識只能是“知其然，而不知其所以然”。在教學中，在強調解決步驟的同時應著重強調所反映出的“化歸”思想方法，使學生真正體會解題步驟是“化歸”思想方法指導下的具體外顯，這樣學生才會舉一反三，建立數學模型，加強方法遷移。
2.在思維活動中滲透數學思想方法。
數學課堂教學必須充分暴露思維過程，讓學生參與教學實踐活動，揭示其中隱含的數學思想，才能有效地發展學生的數學思想，提高學生的數學素質。例如八下“多邊形”的教學可以借三角形、四邊形、五邊形等圖形的分析探求，讓學生大膽猜想，指導發現方法，滲透類比、歸納、猜想思想，在驗證所得結論中結合多邊形可化歸三角形處理從而得以證明，從中滲透化歸思想和分類思想。
3.在問題解決過程中揭示數學思想方法。
數學問題的探索與解決過程，實質是命題不斷變化和數學思想方法反復運用的過程，數學思想方法是數學問題的解決的觀念性成果，它存在于數學問題解決的過程之中。數學問題的探索與解決，都遵循數學思想方法的指導。數學問題的推廣、引申和解決過程既是新的問題發現和解決的過程，又是數學思想方法深化的過程。一些教師往往有這樣的困惑：題目講得不少，但是學生總是停留在模仿型解題的水平上，只要條件稍微變化就不知所措，不能形成較強的解決問題的能力，更談不上創新能力的形成。究其原因就是教師在問題解決中就題論題，沒有抓住問題的本質，沒有突出數學思想方法，“只有劍招，沒有劍魂”。
在解題教學中，教師首先要善于通過選擇典型例題進行解題示范，通過范例展現自己是如何“想”數學，如何“做”數學的。進一步說，就是自己是怎樣審清題意的，是怎樣運用探索法誘發靈感、產生“好念頭”的，是怎樣對問題進行轉化和變更的，是怎樣通過解題進行回顧、概括形成方法和模式的，是怎樣運用合情推理發現結論的，等等。其次，在解題教學中，要引導學生善于反思，達到舉一反三的效果。
4.在知識整理歸納中概括數學思想方法。
數學教材是采用蘊含披露的方式將數學思想方法融于數學知識體系中，適時對數學思想作出歸納、概括是十分必要的。概括數學思想方法要納入教學計劃，應有目的、有步驟地引導學生參與數學思想的概括過程，尤其在章節結束或單元復習中對知識復習的同時，將統攝知識的數學思想方法概括出來，可以增強學生對數學思想方法的運用意識，也使其對運用數學思想解決問題的具體操作方式有更深刻的了解，有利于活化所學知識，形成獨立分析、解決問題的能力。例如，在二元一次方程組的解法中有這樣的敘述：這種解法的思路是，通過“代入”、“加減”，達到消元（即消去一個未知數）的目的，從而將二元一次方程組轉化為一元一次方程。在教學實踐中給足時間，讓學生自讀，結合課本題目，專項討論“消元”怎樣進行，不僅突出重點，突破難點，更重要的是強化內容所反映出來的數學思想方法。
為此，我們不難發現，由于同一數學知識可表現出不同的數學思想方法，而同一數學思想方法又常常分布在許多不同的知識點里，因此通過課堂小結、單元總結或總復習，甚至在某個概念、定理公式、問題教學都可以在縱橫兩方面歸納概括出數學思想方法。
（二）數學思想在教材中的體現及實踐操作
大量的、較高層次的思想方法蘊含于表層知識之中，處于潛形態，教師應該將深層知識揭示出來，將這些深層知識由潛形態轉變為顯形態，由對數學思想方法的朦朧感受轉變為明晰的理解和掌握。
1.符號化、方程與函數思想。
符號化思想、方程思想和函數思想本來是三個不同的思想，它們各有側重點，符號化偏重于形式化、結構化。方程思想相對于算術法，偏重于關注問題中的等量關系、構造方程，由解方程而達到問題解決。函數思想則偏重于事物的運動變化，尋求變量之間的對應關系。但是，一方面由于數學知識量畢竟有限，這三種思想的形成還有待學生在后繼學習中完成，另一方面這三種思想存在有機聯系，符號化是方程思想實現的基礎，而方程又可以看做是函數的特殊情況，方程方法是研究函數的有力工具。
（1）符號化思想。符號既可以表示數，又可以表示量；既可以表示未知數，又可以表示已知數；既可以表示常量，又可以表示變量，還可以用符號表示運算、表示關系、表示語句、表示圖形。如七年級上冊4.1《用字母表示數》用節前語中的兒歌青蛙跳水動畫場面，寓教于樂地引出用字母表示數的思想，認識到字母表示數具有問題的一般性，就便于問題的研究和解決，由此就可產生從算術到代數的認識飛躍。學生領會用字母表示數的思想就可順利地進行以下內容的教學：①用字母表示問題（代數式模仿、列代數式）；②用字母表示規律（運算定理、計算公式、認識數式通性的思想）；③用字母表示數解題（適應字母式問題能力）。
（2）方程思想。在解決數學問題時，有一種從未知轉化為已知的手段就是通過設元，尋找已知與未知之間的等量關系，構造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉化，這種解決問題的思想稱為方程思想。
如（“7.3線段的長短比較”例3）如圖1，點P是線段AB的中點，點C，D把線段AB三等分，已知線段CP的長為1.5cm，求線段AB的長。在講解完書上的解法之后，引導學生分析：能否用方程的思想解決呢？這一問不僅引起學生的好奇，而且激活學生的思維，多種解決問題方法的產生也就不足為奇了。
如果設∠AOC的度數為x度，那么∠COB的度數就等于（x+30）度，再根據∠AOC與∠COB是互為鄰補角，就得到下面的方程。
x+（x+30）=180，解得x=75.即∠AOC=75°，∠COB=105°，∠AOE=∠AOD+∠DOE=105°+37.5°=142.5°.
教材中能用方程思想解決的問題有很多，如“7.6余角和補角”一節中的例2：已知一個角的補角是這個角的余角的4倍，求這個角的度數。本章復習題的第5、10、11、15題等。在教學中，適時適度地引導學生用方程的思想思考問題，不僅有利于學生建立模型思想，而且能提高學生學習興趣，增強數學應用意識。
③函數思想。世界上一切事物都處在運動、變化和發展的過程中，我們在教學中必須重視函數思想方法的教學。函數思想是一種考慮對應、考慮運動變化、相依關系，以一種狀態確定地刻畫另一種狀態，由研究狀態過渡到研究變化過程的思想方法。函數思想的本質在于建立和研究變量之間的對應關系。要有意識、有計劃、有目的地培養函數思想方法，讓學生逐漸形成以運動的觀點觀察事物，并借助函數關系思考解決問題。
如八（上）一次函數的簡單應用例2：小聰和小慧去某風景區游覽，約好在“飛瀑”見面，上午7：00小聰乘電動汽車從“古剎”出發，沿景區公路去“飛瀑”，車速為36km/h，小慧也于上午7：00從“塔林”出發，騎電動自行車沿景區公路去“飛瀑”，車速為26km/h。
（1）當小聰追上小慧時，他們是否已經過了“草甸”？
（2）當小聰到達“飛瀑”時，小慧離“飛瀑”還有多少km？
第一個問題對于大部分學生來說，還是有一定的“恐懼感”。我們不妨讓每個同學都先獨立思考，至少想到一種方法，然后小組交流。通過合作學習后展示討論結果時，有以下幾種思考方法。
法一：把這個問題看成是純粹的應用題，則是一個同時不同地出發的追及問題，只要算出什么時候什么地方追上就能判斷小聰追上小慧時，他們是否已經過了“草甸”；有兩種不同解題思路，一種是用算術的方法，另一種是用列方程解決。
法二：因為小聰和小慧所走的路程與時間是呈正比例關系的兩個變量，所以可用函數知識解決這個問題，追上的時間與地點就是兩個函數圖像的交點，而這里兩個變量的設法也有多種，真可謂思維異彩紛呈。
對于第二個問題，我們完全拋給學生，讓他們合作討論完成。
第一小組：生1：用算術的方法求解；
生3和生4都是用方程的方法。
第二小組：生5、生6都是用方程的方法。
生8不會解答，但在其他同學的幫助下懂得了如何列方程進行解答。
該生介紹這種方法后，得到了大家的一致認同，最后教師作出延伸，從上述幾種方法的解答中我們發現：兩條直線的交點坐標（1，36），就是二元一次方程組s=36ts=26t+10的解。可見，用圖像法也能求方程組的解（近似解）。
2.數形結合思想。
數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學（恩格斯語）。數學中兩大研究對象“數”與“形”的矛盾統一是數學發展的內在因素，數形結合是貫穿于數學發展歷史長河中的一條主線，并且使數學在實踐中的應用更加廣泛和深入。一方面，借助圖形的性質可以將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，獲得精確的結論。這種“數”與“形”的信息轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡潔明快，而且可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數學問題開辟一條重要的途徑。因此，數形結合不應僅僅作為一種解題方法，而應作為一種重要的數學思想，它是將知識轉化為能力的“橋”。為了培養學生良好的思維習慣，在七年級數學中就可以有意識地滲透數形結合思想。
如在《有理數》一章中，數軸就是把數和形結合在一起的內容。這樣在討論相反數、絕對值、倒數的幾何意義時，數和形結合得合理將為學習降低難度。
（1）利用圖像，創設學習負數情境。七年級教材通過溫度計引出數軸概念，能夠具體、直觀地掌握負數的意義。利用數軸把點與數的對應關系揭示出來，這樣數量關系常常可以通過幾何圖形做出直觀的反映和描述。
（2）相反數。在數軸上，相反數就是在原點兩旁到原點距離相等的兩個點所表示的數。零的相反數是它本身即原點。如圖：
（3）絕對值。在數軸上，一個數的絕對值表示這個數的點離開原點的距離。在下圖中，A點到原點的距離比B點到原點的距離大，所以A點表示的數的絕對值比B點表示的數的絕對值大。
（4）倒數。在數軸上表示a與1的位置關系。可以結合數軸加以分析，把0、+1、-1作為分界點，然后再進行討論。
觀察是人們認識客觀事物的開始，直觀是圖形的特征。例如，利用數軸可以比較兩個有理數大小，學生在學習兩個負數比較大小時，常常不過了符號關，利用數軸學生可以準確、快速地確定結論。相反數概念的引入、理解，都依賴“數軸”，特別是教材第一次出現字母表示數：數的相反數是時，學生會出現思維難點，利用數軸可以幫助學生理解：可以是正數、0、負數。
在數形轉化結合的過程中，必須遵循下述原則：轉化等價原則；數形互補原則；求解簡單原則。當然在教學滲透數形結合思想時，應指導學生掌握以下幾點：
（1）善于觀察圖形，揭示圖形中蘊含的數量關系。
（2）正確繪制圖形，反映圖形中相應的數量關系。
（3）切實把握“數”與“形”的對應關系，以圖識性，以性識圖。
教師可以通過各種形式有意識地使學生領會到數形結合方法具有形象、直觀、易于說明等優點，并初步學會用數形結合觀點分析問題、解決問題。
3.分類討論思想。
分類討論思想就是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法。分類是以比較為基礎的，它能揭示數學對象之間的內在規律，有助于學生總結歸納數學知識，使所學知識條理化。我們可啟發學生按不同的情況對同一對象進行分類，如實數的分類、三角形的分類、方程的分類等，幫助他們掌握好分類的方法原則形成分類的思想。當數量大小不確定，或圖形的位置、形狀不確定時，常常可以運用分類討論的思想分析解決。如對七年級有理數的加法教學中，引導學生觀察、思考、探究，將有理數的加法分為三類進行研究，正確歸納出有理數加法法則，這樣學生不僅掌握具體的“法則”，而且對“分類”有深刻的認識，能在較復雜的情況下，利用掌握好的分類的思想方法，正確地確定標準，不重不漏地進行分類，從而使看問題更加全面。
在進行分類討論時，必須遵循以下原則：
（1）分類原則――不重復、不遺漏。由于學生在思考問題時有時帶有片面性或缺乏條理性，因此在解決問題過程中，往往違背這個原則。實際上，在教材中定理證明、例題、習題中都采用分類思想，只要同學們認真鉆研教材，多思考，并注意解題后的回顧與總結，在分類時就會做到不重、不漏。
（2）對復雜問題采用多級分類。對一個復雜的問題有時進行一級分類，很難將問題討論清楚，這時需要對其中一類或幾類再進行分類，即多級分類。多級分類是一個難點，應注意：①每一級分類一定要把握好分類標準。②每一級里，要始終如一地按一個標準討論，同時每一級都要以“不重不漏”為原則。教材中很多定義、定理、公式本身是分類定義、分類概括的，教師在教學過程中要有意識地讓學生在學習中逐漸體會分類討論的思想。
如（“7.2線段、射線和直線”課內練習的第2題），請寫出圖3中以O為端點的各條射線。
這是一個封閉性的題目，條件明確，結論唯一。如果在教學中，我們在學生練習完之后引導學生進行解題后的反思，把這個問題中的條件“以O為端點”去掉，那么圖中又有多少條射線呢？這就是一個以射線端點為分類標準的一個分類問題。該問題雖小，但它讓學生看到了分類思想解決問題的巨大作用。如果再把這個圖形進行變式，點A為直線BC上的一點，那么在圖4中有幾條射線呢？
進一步，如果直線BC上有3個點，4個點，乃至n個點，那么圖4中又有多少條射線呢？至此，學生自己已經不難解決這個問題了。
再如（“7.5角的大小比較”例2），如圖5，∠ABC=90°，∠CBD=30°，BP平分∠ABD，求∠ABP的度數。
這是一道幾何計算題，它包含簡單的推理過程，怎樣有條理地表述解題過程，這是幾何入門教學過程中學生遇到的又一個難點。就本題來說，為使學生能表述清楚語句之間的邏輯關系，首先引導學生觀察題目中的圖形，找出圖5中與解題有關的角，分清哪些是已知度數的角，哪個是所求的角；其次根據已知條件和圖形，分析角與角的數量關系。然而，這樣的能力培養在學習的初始階段是需要模仿的，那么怎樣選擇問題呢？我們不妨對例2做簡單的變式，把題中的“如圖”兩字刪去，這時由于圖形位置的不確定性，需要對問題進行分類討論，學生對問題既有新鮮感，又可以模仿例題的格式學習，正可謂一舉兩得。
4.化歸與轉化思想。
所謂“化歸”，從字面上看可理解為轉化和歸結的意思。數學中把待解決的問題通過轉化，歸結到已經能解決或者比較容易解決的問題中，最終獲得原問題解答的一種手段和方法。化歸方法用框圖可直觀表示為：
其中，問題B常被稱作化歸目標或方向，轉化的手段被稱為化歸途徑或化歸策略。化歸包括三個要素，即化歸對象、化歸目標和化歸策略。化歸的方向是：由未知到已知，由復雜到簡單，由困難到容易。
在數學教材中無處不滲透化歸思想，我們時常需要把高次的化為低次的，把多元的化為單元的，把高維的化為低維的，把指數運算化為乘法運算，把幾何問題化為代數問題，化無理為有理等。從化歸的方向上來看，化歸的方向大致可以分為下面兩種：
（1）新知識向已知知識點或知識塊的轉化
在數學教材中，有許多新知識的獲得或新問題的解決都是通過轉化為已知知識或已解決的問題完成的，也就是將新知識向已知知識點或知識塊轉化，從而使問題得到解決。下面就以解方程為例分析這種化歸的方向。
①消元降次化歸，實現新知識向已知知識點的轉化。
I.降次化歸解一元方程
解一元二次方程時有以下四種解法：
b.如果將方程通過配方恒等變形，一邊化為含未知數的完全平方式，另一邊為非負的常數，則其后的求解可由思路一完成，此為配方法。
c.如果方程一邊為零，一邊能分解成兩個一次因式之積，就可以得到兩個因式分別為零的一次方程，它們的解都是原方程的解，此為因式分解法。
d.如果以上三條思路受阻，便可把方程整理為一般形式，直接利用公式求解。
從以上分析不難看出：將“一元二次”這個新知識點轉化為“一元一次”這個已知知識點之際，也就是順利求解一元二次方程之時。因此，應用化歸思想降次轉化為一元一次方程，是解一元二次方程各方法之“宗”。
II.消元化歸解方程組
解二元一次方程組，其方法是通過加減消元或是代入消元轉化為一元一次方程，即完成從新知識點到已知知識點的轉化，從而得到求解。三元一次方程組，通過消元，轉化為二元一次方程組，再進一步轉化為一元一次方程，從而使問題得解。
②分式方程整式化，實現新知識向已知知識塊的轉化。
新教材中的分式方程按去分母后的形式分為可化為一元一次方程的分式方式和可化為一元二次方程的分式方程，前者安排在七年級（下），后者雖然在教材中沒有安排，但是在中考復習中也會頻頻出現，可以看出把分式方程轉化為整式方程這一已知的知識模式是解分式方程的思路。這里需要注意的是在分式方程整式化變形過程中，有可能不是恒等變形，可能產生增根，所以分式方程必須驗根。
縱觀整個教材，除解方程問題外，還有許多知識的轉化都屬于新知識向已知知識點或知識塊的轉化，如：異分母分數的加減法，通過通分轉化成同分母分數的加減法；多邊形的內角和問題轉化為三角形的內角和解決；梯形的中位線問題轉化為三角形的中位線解決等，無不滲透化歸思想。
（2）一般情況向特殊情況的轉化
在解決數學問題中除上述的化歸方向外，還有一類化歸方向是：先解決特殊條件或特殊情況下的問題，然后通過恰當的化歸方法把一般情況下的問題轉化為特殊情況下的問題解決，這也是解決新問題獲得新知識的一種重要的化歸方向。
如九年級上冊圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。
分析：圓周角∠BAC與圓心O的位置關系有三種：（1）圓心O在∠BAC的一條邊AB（或AC）上（如圖二）；（2）圓心O在∠BAC的內部（如圖三）；（3）圓心O在∠BAC的外部（如圖四）。
圖二 圖三 圖四
在第一種位置關系中，圓心角∠BOC恰為AOC的外角，這時很容易得到結論；在第二、三兩種位置關系中，我們均可作出過點A的直徑，將問題轉化為第一種情況，同樣可以證得結論。上述問題的解決都是先解決特殊條件或特殊情況下的問題，然后通過恰當的化歸方法把一般情況下的問題轉化為特殊情況下的問題解決，同時此定理的證明也滲透合理的分類數學思想。
5.數學模型思想。
現代數學哲學認為：數學是模式的科學，數學所揭示的是人們從自然界和數學本身的抽象世界中所觀察到的數學結構。各種數學概念和各種數學命題都具有超越特殊對象的普遍意義，它們都是一種模式。如果把數學理解為由概念、命題、問題和方法等組合成的復合體，那么掌握模式的思想就有助于領悟數學的本質。數學模型就是指針對或參照某種事物的特征或數量的相依關系，采用形式化的數學語言，概括地或近似地表述出來的數學結構。
數學模型的構建過程，大致可用如下框圖說明：
在數學教學中應讓學生經歷“問題情境―建立模型―解釋、應用、拓展”的過程，在教師的指導下，學生通過實踐活動，自己研究、探索，經歷數學建模的全過程，從而體會方程、不等式、函數等是現實世界的模型，初步領會數學建模的思想和方法，提高數學應用意識和應用數學知識解決實際問題的能力。
如“用不等式知識解決實際問題”的教學就可使用課后一道習題引入：
師：不等式（組）是反映現實世界數量不等關系的一個有效的數學模型，許多現實問題可用不等式（組）知識來解決。
問題：某次數學測驗，共有20道題，評分辦法是：對于每一道題，答對給10分，答錯或不答扣5分。如果某學生總得分不少于80分，那么這個學生至少要答對多少道題？
師：這個問題含有那些要素？
生1：閱讀后略加思考答：①答對題數，②答錯或不答題數，③試題數，④總得分數。其中，已知量：試題數=20、答對一題給10分，某題答錯或不答扣5分、某學生總得分不少于80分，未知量：這個學生至少要答對多少道題？
師：要素之間的數量關系如何？
生2：略加思考答：①答對題數+答錯或不答題數=20；②答對題數×10+答錯或不答題數×（-5）≥80；③答對題數×10≤200；④答錯或不答題數×（-5）≥-100。
師：非常好！這是問題解決過程中的重要一環――分析。對于復雜的問題，將自然語言轉化為圖表語言能使數量關系更清晰。
師：怎樣用符號表示這些關系？
生3：設答對題數為x，則10x-5（20-x）≥80
生4：設答對題數為x，答錯或不答題數為y，則x+y=2010x-5y≥80
生5：設答錯或不答題數至多為x，則15x≤200-80
生6：設答對題數為x，則-100+15x≥80
師：多角度思考問題是學好數學的秘訣！這是問題解決的第二個環節――建模。同一個問題的數學模型可能具有多樣性！
師：怎樣解決這個數學問題？
生7：……
師：這是問題解決的第三個環節――解模。
師：這個數學問題的解是不是實際問題的解？
生8：……
師：這是問題解決的第四個環節――還原。
師：上述四個數學模型那個更有價值？為什么？
生9：……
師：這個問題還有其他解法嗎？
生10：相互研討后答：逐步逼近法（教師有改動）：答對10題、11題、12題……進行試探，逐步逼近）。
師：這是一種解決數學問題的重要思想方法，尤其用于解數學競賽題。
師：上述問題改答對一題給10分，答錯一題扣5分，不答不給分也不扣分呢？
眾生：對不答題數進行分類討論。
師：思路正確！請你將其具體化，試試看。
師：這是問題解決的第五個環節――反思。
師：現在我們再回顧一下上述問題解決的全過程，繼續思考并回答下列問題：
（1）分析有哪些具體方法？（如自然語言轉化為圖表語言等）
（2）建模的實質是什么？（實際問題轉化為數學問題――符號語言）
（3）解模的本質是什么？（邏輯推理）
（4）還原的理由是什么？（實際問題的解應該具有實際意義）
（5）反思的視角與視點是什么？（模型是否具有多樣性、解法是否具有多樣性、問題是否具有一般性、知識與方法是否具有內在聯系性等）
學生回答，教師點評并作出概括。
師：請你預測一下“問題解決”的過程與方法，對今后學習是否具有指導作用？過去用過這種思想方法嗎？
眾生：……
師：不等式10x-5（20-x）≥80是否具有實際意義？請你結合生活和生產實際，提出盡可能多的問題？
生：……
師：在這節課的學習過程中，你有哪些收獲與感受？請大家提出自己的觀點，毫無保留地交流自己的學習成果與思想。
四、結語
隨著新課改的進一步深化，學生的學習方式發生變化，由接受性學習變為研究性學習；學生的學習重點發生轉移，從培養學生“分析與解決問題的能力”轉移到“發現與提出問題的能力”；教育評價從重結果的終結性評價轉到達到結果的過程性評價。那么數學教育教給學生，毫無疑問是以數學知識為載體，以訓練數學思想方法為手段，開發學生潛能，讓學生學會學習、學會生活。僅僅將數學作為一種工具，不能科學評價數學在現代社會中的地位和價值。
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