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第1篇

關(guān)鍵詞：最大值 最小值 最值 邊際

中圖分類號:F224 文獻標識碼:A

文章編號:1004-4914（2011）12-082-02

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、科學技術(shù)研究、經(jīng)營管理中，經(jīng)常要遇到在一定條件下，怎樣用料最省、產(chǎn)量最多、效率最高、成本最低等問題，這些問題在數(shù)學上有時可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值或最小值的問題。隨著市場經(jīng)濟的不斷發(fā)展，利用數(shù)學知識解決經(jīng)濟問題顯得越來越重要，運用微分中的最值可以對經(jīng)濟活動中的實際問題進行最優(yōu)化分析，從而為企業(yè)經(jīng)營者的科學決策提供依據(jù)。

一、最值的概念

1.最大值。設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，x0為區(qū)間[a,b]上某一點。當對于任意x∈[a,b]，有f（x）≤f（x0），則稱f（x0）為f（x）在[a,b]上的最大值，稱點x0為f（x）在[a,b]上的最大值點。

2.最小值。設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，x0為區(qū)間[a,b]上某一點。當對于任意x∈[a,b]，有f（x）≥f（x0），則稱f（x0）為f（x）在[a,b]上的最小值，稱點x0為f（x）在[a,b]上的最小值點。

最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。

二、最值在經(jīng)濟中的應(yīng)用

最優(yōu)化問題是經(jīng)濟管理活動的核心，各種最優(yōu)化問題也是微積分中最關(guān)心的問題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤最大，費用最省等等。下面介紹函數(shù)的最值在經(jīng)濟效益最優(yōu)化方面的若干應(yīng)用。

1.最大利潤問題。

例1：某工廠在一個月生產(chǎn)某產(chǎn)品Q件時, 總成本為C（Q）=5Q+200（萬元），得到的收益為R（Q）=10Q-0.01Q2（萬元），問一個月生產(chǎn)多少產(chǎn)品時, 所獲利潤最大?

解：由題設(shè)，知利潤為

L（Q）=R（Q）-C（Q）=5Q-0.01Q2-200（0

顯然最大利潤一定在（0，+∞）內(nèi)取得。

令L'（Q）=5-0.02Q=0，

得Q=250。又由

L''（Q）=-0.02

所以L（250）=425（萬元）為L的一個極大值。

從而一個月生產(chǎn)250件產(chǎn)品時，可取得最大利潤425萬元。

2.最大收益問題。

例2：某商品的需求量Q是價格p的函數(shù)Q=Q（p）=75-p2，問p為何值時，總收益最大？

解：總收益R（p）=pQ=75P-P3，（p>0）

令R'（p）=75-3p3=0，

得p=5，又

R''（p）=-6p?圯R''（5）

從而R（5）=250，為收益R（p）的極大值。

即當價格為5時，有最大收益250。

3．經(jīng)濟批量問題。

例3：某商場每年銷售某商品a件，分為x批采購進貨，已知每批采購費用為b元，而未售商品的庫存費用為c元/年?件。設(shè)銷售商品是均勻的，問分多少批進貨時，才能使以上兩種費用的總和為最省？(a,b,c為常數(shù)，且a,b,c>0）。

解：顯然，采購進貨的費用W1（x）bx，

兩次求導：C'（Q）=-6+2Q

令C'（Q）=0 則Q=3

當Q=3時，平均成本最低。

最小的平均成本C（Q）=15-18+9=6

而邊際成本函數(shù)C'（Q）=15-12Q+3Q2

當Q=3時，C'（Q）=15-36+27=6

可見最小平均成本與邊際成本相等。

邊際的意義是：當產(chǎn)量在Q的基礎(chǔ)上再增加一個單位時，成本C（Q）的增量。

三、總結(jié)

綜上所述，對經(jīng)營者來說，導數(shù)在經(jīng)濟學中的應(yīng)用頗為廣泛，而且在日常生活中、生產(chǎn)和科研中，常常會遇到最值的問題，不僅而已，從上面的例子可以看出，對其經(jīng)濟環(huán)節(jié)進行定量分析是非常必要的。將數(shù)學作為分析工具，不但可以給企業(yè)經(jīng)營者提供精確的數(shù)值，而且在分析的過程中，還可以給企業(yè)經(jīng)營者提供新的思路和視角，這也是數(shù)學應(yīng)用性的具體體現(xiàn)。因此，作為一個合格的企業(yè)經(jīng)營者，應(yīng)該掌握相應(yīng)的數(shù)學分析方法，從而為的經(jīng)營決策提供可靠依據(jù)。

參考文獻：

1.陸慶平.以企業(yè)價值最大化為導向的企業(yè)績效評價體系――基于利益相關(guān)者理論[J].會計研究,2006(3)

2.高哲.淺談微積分在經(jīng)濟中的應(yīng)用[J].中國科技博覽,2009（7）

3.李春萍.導數(shù)與積分在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用[J].商業(yè)視角，2007（5）

4.向菊敏.微積分在經(jīng)濟分析活動中的應(yīng)用[J].科技信息，2009（26）

5.褚衍彪.高等數(shù)學在經(jīng)濟分析中的運用[J].棗莊學院學報，2007（10）

6.譚瑞林，劉月芬.微積分在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用淺析[J].商場現(xiàn)代化,2008（4）

7.顧霞芳.淺談導數(shù)在經(jīng)濟中的應(yīng)用[J].職業(yè)圈，2007（4）

第2篇

【關(guān)鍵詞】中職數(shù)學；均值定理；函數(shù)；最值問題

俗話說得好：“學好數(shù)理化，走遍天下全不怕”，我們在講解數(shù)學知識的過程中也要充分和實踐相結(jié)合。綜合分析多年來的單招高考試題，不難發(fā)現(xiàn)，試卷的重難點大多集中在函數(shù)這一章節(jié)。函數(shù)知識點靈活，和中職所學的很多知識都有關(guān)聯(lián)，均值定理是中職數(shù)學的重要組成部分，在單招高考中占有一定的比重，成為單招高考的高頻考點，總能以各種形式出現(xiàn)在單招高考的舞臺上，成為考驗學生綜合能力素養(yǎng)的體現(xiàn)。因而，我們教師如何將均值定理運用于函數(shù)最值這一個知識點講得通透準確顯得尤為關(guān)鍵，下面給出常規(guī)的例題講解和教學方法。

一、指導學生多種解題思路，避免出題陷阱

例1 求函數(shù)f（x）=+x（x

對于均值問題， 最常規(guī)的解題思路是直接套用公式，但是很多學生往往忽視使用公式的前提條件，忽視“一正，二定，三相等”這一前提，因此在解答這道題時很多初學者會犯一類錯誤，直接由均值定理得出答案是2，但很明顯，當x

例2 如果a>b，ab=1，求的取值區(qū)間。

這類題我們首先應(yīng)該觀察所求表達式本身的分子與分母的關(guān)系， 通過使用配湊法以及取公因式得到新的函數(shù)，根據(jù)題目所給條件，確定a>b，a-b>0確保了“一正，二定，三相等”的使用原則，令x=a-b=a-，則f（x）==x+（x>0），很快利用公式可以算出取值區(qū)間。在解決此類題的過程中，最重要的是引導學生簡單地分析題目的條件，根據(jù)所給關(guān)系式運用配湊法等找出解決題目的核心，然后判斷題目所給的既定條件是否符合均值定理的使用原則，找出核心的關(guān)系式是解決此類問題的關(guān)鍵。其實之所以均值問題會成為單招高考中的殺手锏，是因為學生不能夠根據(jù)題目條件很迅速地確定答題關(guān)鍵，找出核心的關(guān)系式。因此，我們針對學生出現(xiàn)的這類問題，需要適時地調(diào)整我們的教學方法，盡量做到一題多解，并且指導學生掌握正確的學習方法，這對后期的學習會有更大地幫助。

二、明確學習目標，結(jié)合各地單招試題分析

很多學生對單招高考比較迷茫，對數(shù)學知識點更是沒有很好地把握。因此，我們教師要分析各地多年來的高考試卷，結(jié)合單招改革的形式，搜集有關(guān)的試題，結(jié)合例題講解，讓學生理解并學會應(yīng)用均值定理解決函數(shù)最值問題。教學過程中，我們要考慮學生的接受能力，步步為營、穩(wěn)扎穩(wěn)打，在學生平時的學習過程中穿插一些高考題，讓他們對高考有個簡單的了解，并且在講解的過程中要注意學生的解題思路，很多學生乍一看答案都是對的，但是很多都是誤打誤撞的，并沒有準確地理解定理運用的前提，這是解題的大忌，要做到精細和準確兩手抓，確保學生明確均值定理后再開始運用。

笛С杉ê玫難生并不是老師教出來的，學習最重要的過程是反思和將知識內(nèi)化，徹底理解并形成自己的思維模式才是最難能可貴的，因此我們要指導學生掌握科學的學習方法，尤其是在均值定理這一個知識點中。首先，學生得明確數(shù)學的學科性質(zhì)，死記硬背是行不通的，對于均值定理雖然只有幾個簡單的概念，但是真正的消化并不容易，我們在上課的過程中就要幫助學生準確地理解均值定理的由來，三個條件缺一不可。其次，在我執(zhí)教的過程中，我都會要求學生準備錯題集，均值定理在函數(shù)最值問題中的應(yīng)用范圍很廣，很多題目初看覺得和定理無關(guān)，其實很多解題關(guān)鍵都是很隱秘的，學生必然會掉到陷阱里。那么如何將這些知識做一個很好的歸類呢？這就要發(fā)揮錯題集的作用了，將自己經(jīng)常錯的和題目條件隱晦的題目整理起來，幫助自己后期系統(tǒng)復(fù)習，也彌補了這類知識的學習漏洞，考前將錯題重新做一下相較于做新題更有價值，學習本就是不斷溫故知新的過程。

綜合而言，均值定理的教學過程中要充分幫助學生正確地理解使用原則，并且運用不同的典型例題進行講解，幫助學生建立基本的知識架構(gòu)，并且要做到一題多解，避免學生思維單一性。最關(guān)鍵的是要指導學生科學的學習方法，讓學生成為學習的主體，完成對知識的內(nèi)化。

【參考文獻】

第3篇

一、函數(shù)f（x）=x2-2x+2在區(qū)間[-1，3.2]上的最大值和最小值的動態(tài)演示

1.利用幾何畫板畫出f（x）=x2-2x+2的圖像，在x軸上繪制好A點（-1，0）和B點（3.2，0），即區(qū)間[-1，3.2].在線段AB上構(gòu)造一個點C，度量出C點的橫坐標，記為x，再計算出f（x），繪制好D（x，f（x））；選擇C、D【構(gòu)造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[-1，3.2]）的圖像.

2.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡潔.過D點作y軸的垂線段交y軸于E點.C點在線段AB上移動時，D點的縱坐標與E點的縱坐標一樣.通過E點的值的變化可以清晰地反映函數(shù)f（x）=x2-2x+2在區(qū)間[-1，3.2]上的最大值和最小值.

3.選擇點E【編輯】|【操作類按鈕】|【動畫】，制作好按鈕.只要按就可以讓F點在圖像上運動起來，觀察出何時取最大值和最小值，最后將E、F的標簽改為x、f（x），如圖1.

圖1

二、函數(shù)f（x）=x2-2x+2在區(qū)間[t，t+2]上的最大值和最小值的動態(tài)演示

1.利用幾何畫板畫出f（x）=x2-2x+2的圖像，在x軸上繪制一點A，度量A的橫坐標，記為t，計算t+2；繪制點B（t+2，0），構(gòu)造線段AB，在線段AB取一點P，度量其橫坐標，記為x，計算f（x），繪制點M（x，f（x））；選擇P、M【構(gòu)造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的圖像.

2.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡潔.作出函數(shù)圖像的對稱軸，過A、B兩點作x軸的垂線段，作出線段PM，再過M作y軸的垂線段（虛線），最后將A、B、P、M的標簽改為t，t+2，x，f（x），如圖2.

圖2

3.拖動點t讓函數(shù)f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的圖像動起來.觀察函數(shù)在區(qū)間[t，t+2]的最大值和最小值，并從中總結(jié)出需要的結(jié)論.

4.當t≤-1時，函數(shù)的最大值為f（t），最小值為f（t+2）；當-1

三、函數(shù)f（x）=x2-2tx+2在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值的動態(tài)演示

1.在x軸上構(gòu)造一點A，過A點構(gòu)造x軸的垂線，再在垂線上構(gòu)造一點B，度量其縱坐標，記為t，并將B點標簽改為t.

2.繪制函數(shù)f（x）=x2-2tx+2圖像；繪制點C（-1，0）、D（1，0），構(gòu)造線段CD，在線段CD上取一點E，度量其橫坐標，記為x，計算f（x），繪制點F（x，f（x））；選擇E、F【構(gòu)造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2tx+2（x∈[-1，1]）的圖像.

3.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡潔.作出對稱軸，并作出線段EF，再過F作y軸的垂線段（虛線）.將點E、F的標簽改為x，f（x）.

第4篇

由于學生對判別式法求函數(shù)值域的原理不是很清楚，所以在求解時常常會考慮不周全而漏解，造成近幾年高考試卷中，解析幾何大題的最后一問關(guān)于斜率K的函數(shù)在求最值（或范圍）時，不能從容應(yīng)對，當然除了判別式法以外，也常常利用均值不等式進行處理。

總之，只有學生在學習過程中，對其原理認真領(lǐng)會、強化通性通法，引導學生對數(shù)學問題從多層面，多角度進行延伸探究，有意識的引導學生從“變”的現(xiàn)象中分析“不變”的本質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。所以變式教學要圍繞講的目的性和針對性展開：明確是訓練學生的計算能力，還是深化學生思維；是進一步鞏固基礎(chǔ)，還是提高學生能力；是提醒學生哪些地方易錯，還是磨練學生解題意志。有效地拓展更好的服務(wù)于講，深化了練，提升了課堂的質(zhì)量。高三教學發(fā)揮變式功能，更是一種有效地引導學生學會“如何思”“如何想”并走向“自覺地思”“自覺地想”的方式，有利于培養(yǎng)學生靈活多變的創(chuàng)新思維，完善學生的認知結(jié)構(gòu)，提高學生分析問題、解決問題和探索創(chuàng)新能力。

參考文獻

第5篇

關(guān)鍵詞：函數(shù)最值；基本方法

在中學數(shù)學中常遇到一類求函數(shù)最大值、最小值的問題，它是中學數(shù)學教與學中普遍感到困難的一類問題。函數(shù)最值涉及的知識面較廣，方法也靈活多變，訓練思維能力效果好，因此在數(shù)學中占有重要的地位，要學好函數(shù)最值就必須了解和掌握求函數(shù)最值的方法與技巧。函數(shù)最值的基本方法有很多，這章主要介紹代數(shù)法、導數(shù)法、構(gòu)造法、數(shù)形結(jié)合法、引進復(fù)數(shù)求函數(shù)最值。

一、配方法

代數(shù)法是中學階段應(yīng)用最廣泛的方法，它包括配方法、判別式法、換元法、不等式法等。首先，我們介紹配方法。

利用配方法將二次型轉(zhuǎn)化為標準型求函數(shù)最值的方法不僅易于掌握，而且思路清晰，操作簡單，它是求二次函數(shù)最值一種行之有效的方法。配方法及其思想在數(shù)學分析、高等代數(shù)、空間解析幾何等中都有著廣泛的應(yīng)用。配方法的基本步驟如下：

函數(shù)y=ax2+bx+c，經(jīng)配方得

y=ax+2+，

若a>0，當x=-時，ymin=；

若a

配方法是一種對數(shù)學式子進行定向變形（配成完全平方）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。掌握這一方法關(guān)鍵在于合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧。

二、判別式法

判別式法主要是應(yīng)用方程的思想來解決函數(shù)的最值。它是我們解題時常用的方法，具體的過程如下：

將函數(shù)y=，

改寫成關(guān)于x的一元二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，

則它有實數(shù)解x的充要條件是其判別式Δ=b2（y）-4a（y）c（y）≥0，

從而由等式（方程）轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的不等式，從而求其最大或最小值。在解題中應(yīng)注意a（y）≠0。

利用判別式法求函數(shù)的最值時應(yīng)注意兩點：

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）對于二次方程的二次項系數(shù)要分零和非零兩種情形。

三、換元法

利用題設(shè)條件，用換元的方法消去函數(shù)中的一部分變量，將問題化歸為一元函數(shù)的最值，以促成問題順利解決。求函數(shù)最值的換元法主要有三角換元法和代數(shù)換元法。中學數(shù)學中較常見的是下面兩種形式的換元。

（1）y=ax+b+，令t=，將y轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)，再求最值。

（2）y=asinxcosx+c（sinx±cosx）+c，令t=sinx±cosx，將y轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)，再求最值。

四、不等式法

中學數(shù)學中利用均值不等式求函數(shù)最值是一種基本的、常用的方法。靈活運用均值不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數(shù)最值。均值不等式的運用有三個嚴格的限制條件，即（1）各項均為正數(shù)；（2）積或和是定值；（3）等號能否取到，簡言之“一正二定三相等”，三個條件缺一不可。以下是有關(guān)均值不等式兩個定理。

定理1：當a，b∈R+時，則≥，當且僅當a=b時等號成立。

定理2：當a，b，c∈R+時，則≥，當且僅當a=b=c時等號成立。

五、導數(shù)法

導數(shù)法一般用來解決一類高次函數(shù)的最值。

用導數(shù)法求函數(shù)最值的步驟為：

第一步：找出fx在a，b內(nèi)所有可能的極值點，即駐點和一階不可導點；

第二步：求出fx在上述點和兩個端點a與b處的函數(shù)值；

第三步：將函數(shù)值進行比較，最大者即為最大值，最小者即為最小值。

綜上可知，函數(shù)最值內(nèi)涵豐富，解法靈活，沒有通用的方法和固定模式，在解題時要因題而異，而且上述方法并非彼此孤立，而是相互聯(lián)系、相互滲透的，有時一個問題需要多法并舉，互為補充，有時一個題目又會有多種解法，因此，解題的關(guān)鍵在分析和思考，因題而異地選擇恰當?shù)慕忸}方法，當一題有多種解法時，應(yīng)注意選擇最優(yōu)解法。以上就是本文整理出的有關(guān)于求函數(shù)最值的一些解法。當然求函數(shù)最值的方法不止這些，這里只是對求函數(shù)最值的方法作部分的歸納，具體的方法還有待去進一步的發(fā)現(xiàn)和總結(jié)。

六、結(jié)語

函數(shù)最值的方法是數(shù)學解題中既重要又實用的技巧。因此，深刻理解函數(shù)最值，熟練掌握求解函數(shù)最值的方法并在實踐中靈活運用，是我們學好數(shù)學的關(guān)鍵。

以上求解函數(shù)最值的方法與應(yīng)用并不全面，事實上還存在很多有關(guān)函數(shù)最值的求解方法和在其他方面上的應(yīng)用，因此需要不斷更新、研究，以便總結(jié)出更多求解函數(shù)最值的方法和更有效地應(yīng)用這些方法解決函數(shù)最值，讓函數(shù)最值的方法的應(yīng)用更加廣泛。

參考文獻：

1.張弛.函數(shù)的最值及其應(yīng)用.黑河教育，2004（2）：34.

第6篇

編者按：最值問題遍及高中數(shù)學的所有知識點，綜合性強，是高考的必考內(nèi)容.同時，最值問題可以將各種知識作為背景來進行考查，形式多樣，不容易被考生所掌握.如果考生從最值問題的常見類型、求解策略以及解答時的易錯點三個角度來備考并加以掌握，其實最值問題也沒想象中那么難.

近幾年高考中的最值問題，在考查內(nèi)容上，涉及的知識點廣泛，如求函數(shù)的值域，求數(shù)列中的最大項或最小項，求數(shù)學應(yīng)用問題中有關(guān)用料最省、成本最低、利潤最大等問題；在解題方法上，求最值的方法有很多，如判別式法、均值不等式法、變量的有界性法、函數(shù)的性質(zhì)法、數(shù)形結(jié)合法等.

1.二次函數(shù)的最值

求解二次函數(shù)的最值一般是先配方，再借助二次函數(shù)的圖像解答.數(shù)學中的很多最值問題最后常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題來求解.

例1 （2008年高考重慶理科卷）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為

難度系數(shù) 0.70

解 選C.

小結(jié) 二次函數(shù)的最值問題是其他很多最值問題（如三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、應(yīng)用性最值問題）的基礎(chǔ).最值問題要特別強調(diào)“定義域優(yōu)先”的原則，本題實質(zhì)上是求給定區(qū)間內(nèi)的二次函數(shù)的值域問題.

2.導數(shù)法求最值

導數(shù)的引入為函數(shù)最值的求解開辟了一條新路，我們通常用導數(shù)法求函數(shù)的最值要比用初等方法簡便得多，因此導數(shù)法求最值也是一種不可忽視的方法.

設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導，求的最大值與最小值的步驟如下：

①求函數(shù)在內(nèi)的極值；

②將函數(shù)的各極值與， 進行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

例2 （2011年高考江西理科卷）設(shè)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；

（2）當在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值.

難度系數(shù) 0.60

解 （1）解答過程省略.

（2）令，可得兩根所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當時，有，所以在上的最大值為又即在上的最小值為于是得從而在該區(qū)間上的最大值為

小結(jié) 本題主要考查函數(shù)與導數(shù)的基礎(chǔ)知識.導數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性及最值的有效工具.

3.均值不等式求最值

均值不等式：若，則當且僅當時等號成立.應(yīng)用均值不等式要注意“一正、二定、三相等”的要求.

例3 （2012年高考湖南理科卷）已知兩條直線 和l1與函數(shù)y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點A，B ，l2與函數(shù)y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點C，D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b.當m 變化時，的最小值為

難度系數(shù) 0.55

解 由題意得選B.

小結(jié) 本題除了考查考生對對數(shù)函數(shù)圖像的理解外，還考查利用基本不等式求最值的方法.考生在解題時應(yīng)注意將配湊成的形式，再利用基本不等式進行求解.

4.輔助角型三角函數(shù)最值

求函數(shù)y=asin ωx+bcos ωx的最值可以轉(zhuǎn)化為求y=Asin（ωx+φ）的最值，再利用三角函數(shù)的有界性可求.

例4 （2011年高考新課標理科卷）在則AB+2BC的最大值為 .

難度系數(shù) 0.65

解 最大值為2

小結(jié) 本題考查正弦定理的應(yīng)用及三角函數(shù)的性質(zhì)和公式的應(yīng)用，熟練運用化一公式并利用函數(shù)的有界性處理是解答問題的關(guān)鍵.

不等式的恒成立問題

不等式的恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來求解.如：恒成立，即恒成立，即例5 （2012年高考天津理科卷）已知函數(shù)的最小值為0，其中

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若對任意的有成立，求實數(shù)k的最小值；

（Ⅲ）證明難度系數(shù) 0.50

解 （Ⅰ）據(jù)題意可知函數(shù) 的定義域為由當x變化時的變化情況如下表：

因此， f（x）在x=1-a處取得最小值.由題意有f（1-a）=1-a=0，所以a =1.

（Ⅱ），取，有，故不合題意.當時，令，即，于是

令，得

①當時， 在上恒成立，因此在上單調(diào)遞減.從而對任意的，總有，即在上恒成立.故符合題意.

②當時，對于，故在上單調(diào)遞增.因此，當取時，，即不成立.故不合題意.

綜上可知，k的最小值為.

（Ⅲ）證明過程省略.

第7篇

一、直接法

某些函數(shù)的結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，可以通過適當變形，由初等函數(shù)的最值及不等式的性質(zhì)直接觀察得到它的最值。

例1　求y=x3＋2/2＋5暑的最杏值，解析：變形為y＝1=X2＋2/3，故當x=0，時，yma

二、反函數(shù)法

由原函數(shù)反解出x=￡(y)，根據(jù)x的范圍求出y的范圍，進而得到y(tǒng)的最值的方法稱為反函數(shù)法，此方法適用于能順利求得反函數(shù)的函數(shù)，如形如y=αt＋b/ct＋d(α≠0)的函數(shù)， 類似地，此方法也可推廣到可以解得g(x)=￡(y)，且已知g(x)的取值范圍的函數(shù)，

三、配方法

配方法是求解“可化為二次函數(shù)形式”這一類函數(shù)的最值問題的基本方法，有著廣泛的應(yīng)用，

四、換元法

引入新變量對原函數(shù)式中的代數(shù)式或三角函數(shù)進行代換，將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化成容易求最值的簡單函數(shù)，進而求得最值的方法稱為換元法，形如y=ax+6的函數(shù)求最值常用此法，用換元法解題時要特別注意變元前后自變量的取值范圍要保持一致。 　 　五、不等式法

通過對原函數(shù)式進行變形，利用等基本不等式求函數(shù)的最值的方法稱為不等式法，用不等式法求最值時，要注意“一正、二定、三相等”的應(yīng)用條件，即不等式中的兩項必須都為正，兩項的和一定時積有最大值、積一定時和有最小值，必須能取得到最值，

點評：利用不等式法求最值時，要注意函數(shù)取到最值時，相應(yīng)的x的值是否存在，如果不存在，則此最值不能取到，此時要考慮用其他方法來解題，點評：用不等式法和判別式法都只能求出例8中函數(shù)的最小值，如果要求它的最大值，上述方法就不可行了，需要考慮換用其他方法，

七、單調(diào)性法

如果能確定函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，就可以求出該函數(shù)的最值，求解函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題?？稍囉眠@種方法，函數(shù)的單調(diào)性可以直接用單調(diào)性的定義來判別，也可結(jié)合函數(shù)的圖像來研究，或者用導數(shù)法來判定。

點評：看到例11中的函數(shù)的形式，很多同學會考慮用換元法來解題，但若用換元法無法將其轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的形式，會讓解題過程變得更繁雜，甚至無法順利進行下去，在判斷函數(shù)的單調(diào)性時，方法的選擇也是很重要的，三種方法各有特點：定義法是最容易想到的，圖像法最直觀，而導數(shù)法往往比較簡捷。

第8篇

關(guān)鍵詞：函數(shù)；最值；解法；應(yīng)用

一、引言

最值問題是數(shù)學領(lǐng)域中的重要組成部分，更是函數(shù)研究中尤為重視的一塊分支。它貫穿于多個學科中，更是被頻繁的應(yīng)用于一些日常生活中各種實際問題的解決，而其解法又具有多樣性和靈活性，函數(shù)最值問題本質(zhì)是求取具體問題的最優(yōu)解，對于不同的最值問題，采取的解決辦法都不盡相同，但其整個解題的思維方式都是通過一次或多次的轉(zhuǎn)化，使其轉(zhuǎn)化為相對簡單的問題去求解。因此，本文通過對函數(shù)最值常見解法的探究，闡述了函數(shù)最值問題解法研究的重要性，并結(jié)合生活中的實例，進一步加強對函數(shù)最值問題解法的靈活運用，并分析總結(jié)出求解最值問題時應(yīng)注意的一些問題，對后人的學習和研究奠定基礎(chǔ)。

二、函數(shù)最值常見解法

（一）定義法：關(guān)鍵在于抓住定義中的“任意性”和“存在性”。

（二）配方法：主要針對二元函數(shù)的一般形式[1]，即

四、結(jié)束語

本文介紹了幾種常見的有關(guān)函數(shù)最值問題的解法，并結(jié)合實際給出了生活中不同方面的關(guān)于最值的實例，將生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學思維來求解，同時探討了解題時需要注意的細節(jié)，總結(jié)出求解問題的關(guān)鍵在于找準變量關(guān)系選擇合適方法，因此靈活的運用函數(shù)最值的解法是至關(guān)重要的，通過它解決的不僅是學業(yè)上的課題，而且它將在解決實際問題中扮演著一個至關(guān)重要的角色。

參考文獻：

第9篇

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學；二次函數(shù)；多角度；區(qū)間

二次函數(shù)求最值類的問題千變?nèi)f化，然而只要掌握一定的技巧，學會多角度分析，定能找到解題思路，以不變應(yīng)萬變，順利解決難題。本文以二次函數(shù)求最值問題的題型為基礎(chǔ)，進行了解題模式的探討。

一、確定區(qū)間，結(jié)合圖象性質(zhì)

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的有力武器，在解決二次函數(shù)求最值的問題中也不例外，通過結(jié)合圖象性質(zhì)，快速準確地確定區(qū)間，開辟出解題思路。

1.定軸定區(qū)間，直接判斷

當二次函數(shù)所給的函數(shù)區(qū)間固定，對稱軸固定時，我們可以通過做出函數(shù)圖形，清晰直觀地判斷和計算出函數(shù)的最值。這類題型比較簡單，所以我在教學中，主要教會大家準確地做出函數(shù)圖形，從而解決問題。

比如，對于定軸定區(qū)間函數(shù)求最值問題：求函數(shù)y=-x2+4x-3在區(qū)間[1，4]的最大值及最小值。首先我們分析二次函數(shù)的表達式，二次項系數(shù)小于零，說明函數(shù)圖象開口向下，函數(shù)的對稱軸為x==2。然后我們根據(jù)區(qū)間范圍，函數(shù)的對稱軸，開口方向可以做出該二次函數(shù)的草圖。通過觀察這一函數(shù)的圖象，我們可以得出二次函數(shù)的最大值應(yīng)在對稱軸處取得，二次函數(shù)的最小值在端點x=4處取得，通過將x軸的坐標軸代入函數(shù)表達式，即可求出相應(yīng)的最大值與最小值，從而得解。

講完例題后我向?qū)W生強調(diào)了這類題型的易錯點。定軸定區(qū)間類的二次函數(shù)求最值問題相對來說是最簡單的求最值問題，然而學生因為粗心大意也會發(fā)生錯誤，比如畫錯開口方向，大家一定要記住二次項系數(shù)大于零開口向上，二次項系數(shù)小于零開口向下。然后端點處和對稱軸處的函數(shù)值只要將對應(yīng)的x值代入函數(shù)表達式，便可準確地求出，進而做出函數(shù)圖象。

在這部分知識的教學中，我通過強調(diào)做函數(shù)圖象的細節(jié)，引導學生在做題時通過直接地觀察，準確地得到最值，提高了課堂的效率。

2.定軸動區(qū)間，相對位置

定軸動區(qū)間類的二次函數(shù)其對稱軸確定，然而閉區(qū)間是不確定的。這類問題考查的是對稱軸與函數(shù)區(qū)間的相對位置關(guān)系，當函數(shù)區(qū)間發(fā)生變化時，隨著與對稱軸的相對位置發(fā)生變化，函數(shù)的最值也可能會發(fā)生變化，所以學生要掌握分類討論的思想，討論不同情況下的函數(shù)最值。

例如，求函數(shù)y=x2+2x-1在區(qū)間[t，t+2]上的最大值與最小值。這道題的類型屬于定軸動區(qū)間類問題，首先我們確定函數(shù)的對稱軸為x=-1。隨著t的取值不同，我們發(fā)現(xiàn)可以將這一問題分為三種情況進行討論，一是當對稱軸位于區(qū)間[t，t+2]的函數(shù)右側(cè)時，二是當對稱軸位于區(qū)間[t，t+2]的函數(shù)內(nèi)時，三是當對稱軸位于區(qū)間[t，t+2]的函數(shù)的左側(cè)時，進而可以將t的值也劃分為三個范圍進行討論。在第一種情況下，t+2

在上述例題的教學中，我通過引導學生進行分類討論，將問題分為各種情況然后求出最值，思路清晰，條理明確，能夠完整準確地確定該類二次函數(shù)的最值，取得了很好的教學效果。

3.定區(qū)間動軸，考慮變量

對于定區(qū)間動軸類的二次函數(shù)問題，由于區(qū)間固定而對稱軸不確定，因此函數(shù)的最值也會隨著對稱軸與區(qū)間的相對位置變化而發(fā)生變化，因此解決這類問題同樣需要進行分類討論，與定軸動區(qū)間類最值問題相似。

例如，求二次函數(shù)y=x2-ax+1在區(qū)間[0，2]上的最小值。我引導學生依照定軸動區(qū)間問題的求解思路，將該問題分成三種情況進行討論。通過計算，可得到二次函數(shù)對稱軸為x=，當區(qū)間范圍內(nèi)的函數(shù)位于對稱軸左側(cè)時，即a>4時，函數(shù)在區(qū)間[0，2]內(nèi)是單調(diào)遞減的，因此二次函數(shù)在x=2處取得最小值，為5-2a。當對稱軸包含在區(qū)間范圍內(nèi)的函數(shù)時，即0≤a≤4，由于該二次函數(shù)開口向上，所以在對稱軸處取得最小值，為-+1。分析到這一步的時候我向?qū)W生強調(diào)了求最大值的做法，這道題僅讓求最小值，而恰好對稱軸處為最小值，若這道題還要求求出最大值的話，學生也應(yīng)按照定軸動區(qū)間類問題中這種情況下的解題思路再次進行分類討論。當區(qū)間范圍內(nèi)的函數(shù)位于對稱軸右側(cè)時，即a>0時，函數(shù)在區(qū)間[0，2]內(nèi)是單調(diào)遞增的，因此，二次函數(shù)在x=0處求得最小值1。

在上述問題的教學中，我通過引導學生利用定軸動區(qū)間類最值問題的求解技巧與思路，順利地探求出動軸定區(qū)間類問題的求解方法，通過這樣類比與分類的討論思想，讓學生成功地理解與學會了這部分數(shù)學知識，高效地完成了教學目標。

二次函數(shù)的對稱軸位置、函數(shù)區(qū)間都會對二次函數(shù)的最值造成影響，學生在解題時，一定要看清題目對對稱軸和區(qū)間的要求，多角度分析問題，采取正確的解題策略。

二、含有系數(shù)，字母視為常數(shù)

有時求最值問題所給的二次函數(shù)的系數(shù)是用字母表示的，對于這類問題的求解方法是將字母視為常數(shù)，并根據(jù)字母所表示的系數(shù)的位置不同，可能需要進行分類討論。

二次函數(shù)的表達式可寫作y=ax2+bx+c，當所給函數(shù)的常數(shù)項用字母表示時，自然將其視為常數(shù)處理。例如，求二次函數(shù)y=x2+2x+a在區(qū)間[0，1]上的最大值。二次函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增，x=1時函數(shù)的最大值為3+a。當所給函數(shù)的一次項系數(shù)用字母表示時，這類問題就是上述所講的動軸定區(qū)間類問題，將字母視為常數(shù)，再結(jié)合自變量的范圍，按照分類討論的思想進行求解。當所給函數(shù)的二次項系數(shù)用字母表示時，例如，求二次函數(shù)y=ax2+4x-3（a≠0）在區(qū)間[1，3]內(nèi)的最大值。對這一例題進行分析，a的大小首先影響的是開口大小，因此首先分為a>0和a

在上述教學中，我通過教授學生將含有字母的系數(shù)視為常數(shù)的思想，引導學生攻克了含有參數(shù)的二次函數(shù)求最值問題，加深了學生對二次函數(shù)的理解與運用。

三、實際應(yīng)用，正確列函數(shù)式

二次函數(shù)在實際生產(chǎn)生活中也有很廣泛的應(yīng)用，通過利用二次函數(shù)求最值的方法，我們能夠解決最優(yōu)化問題。對于二次函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用問題進行分析，正確列出函數(shù)表達式是非常關(guān)鍵的步驟。

例如，某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺。為了響應(yīng)國家“家電下鄉(xiāng)”政策，商場決定降價。冰箱售價每降低50元，平均每天能多售出4臺。那么每臺冰箱降價多少元時，商場每天銷售這種冰箱的利潤最高？最高利潤為多少？求解這道題，我們首先應(yīng)當確定冰箱的利潤y與每臺冰箱降價x的函數(shù)表達式，y=（2400-x-2000）（×4+8）=-x2+24x+3200。我們可以做出該函數(shù)的圖象，對稱軸為x=150。

然后結(jié)合自變量x的取值范圍，我們可以求得二次函數(shù)在對稱軸處取得最大值，也就是說，當冰箱降價150元時，商場的利潤最大為5000元。然后我對二次函數(shù)應(yīng)用題進行了總結(jié)，這類問題學生首先應(yīng)該讀清題意，確定正確的函數(shù)表達式，然后應(yīng)用定軸定區(qū)間二次函數(shù)求最值的求解方法，即可求得應(yīng)用題中的最優(yōu)結(jié)果。

在上述教學中，我對如何將實際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學二次函數(shù)極值問題的處理方法進行了講解，引導學生學會有效地結(jié)合函數(shù)圖象進行解題，應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)，成功地求解出應(yīng)用題的正確答案，進一步加深了學生對二次函數(shù)知識的掌握。

多角度分析是促進思維、加快解題速度的一種好方法。綜上所述，學生只要切實掌握確定函數(shù)區(qū)間的技巧，把握住含有系數(shù)的二次函數(shù)與二次函數(shù)的實際應(yīng)用解法，就能成功地克服部分二次函數(shù)難題?？傊?，從多角度分析和解決問題，有助于迅速找到解題思路，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]徐薇.淺談初中數(shù)學二次函數(shù)最值問題的求解[J].數(shù)理化解題研究：初中版，2015（13）：26.