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函數(shù)最值的應(yīng)用優(yōu)選九篇

時間:2023-06-29 16:33:05

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函數(shù)最值的應(yīng)用

第1篇

關(guān)鍵詞:最大值 最小值 最值 邊際

中圖分類號:F224 文獻標識碼:A

文章編號:1004-4914(2011)12-082-02

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、科學技術(shù)研究、經(jīng)營管理中,經(jīng)常要遇到在一定條件下,怎樣用料最省、產(chǎn)量最多、效率最高、成本最低等問題,這些問題在數(shù)學上有時可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值或最小值的問題。隨著市場經(jīng)濟的不斷發(fā)展,利用數(shù)學知識解決經(jīng)濟問題顯得越來越重要,運用微分中的最值可以對經(jīng)濟活動中的實際問題進行最優(yōu)化分析,從而為企業(yè)經(jīng)營者的科學決策提供依據(jù)。

一、最值的概念

1.最大值。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),x0為區(qū)間[a,b]上某一點。當對于任意x∈[a,b],有f(x)≤f(x0),則稱f(x0)為f(x)在[a,b]上的最大值,稱點x0為f(x)在[a,b]上的最大值點。

2.最小值。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),x0為區(qū)間[a,b]上某一點。當對于任意x∈[a,b],有f(x)≥f(x0),則稱f(x0)為f(x)在[a,b]上的最小值,稱點x0為f(x)在[a,b]上的最小值點。

最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。

二、最值在經(jīng)濟中的應(yīng)用

最優(yōu)化問題是經(jīng)濟管理活動的核心,各種最優(yōu)化問題也是微積分中最關(guān)心的問題之一,例如,在一定條件下,使成本最低,收入最多,利潤最大,費用最省等等。下面介紹函數(shù)的最值在經(jīng)濟效益最優(yōu)化方面的若干應(yīng)用。

1.最大利潤問題。

例1:某工廠在一個月生產(chǎn)某產(chǎn)品Q件時, 總成本為C(Q)=5Q+200(萬元),得到的收益為R(Q)=10Q-0.01Q2(萬元),問一個月生產(chǎn)多少產(chǎn)品時, 所獲利潤最大?

解:由題設(shè),知利潤為

L(Q)=R(Q)-C(Q)=5Q-0.01Q2-200(0

顯然最大利潤一定在(0,+∞)內(nèi)取得。

令L'(Q)=5-0.02Q=0,

得Q=250。又由

L''(Q)=-0.02

所以L(250)=425(萬元)為L的一個極大值。

從而一個月生產(chǎn)250件產(chǎn)品時,可取得最大利潤425萬元。

2.最大收益問題。

例2:某商品的需求量Q是價格p的函數(shù)Q=Q(p)=75-p2,問p為何值時,總收益最大?

解:總收益R(p)=pQ=75P-P3,(p>0)

令R'(p)=75-3p3=0,

得p=5,又

R''(p)=-6p?圯R''(5)

從而R(5)=250,為收益R(p)的極大值。

即當價格為5時,有最大收益250。

3.經(jīng)濟批量問題。

例3:某商場每年銷售某商品a件,分為x批采購進貨,已知每批采購費用為b元,而未售商品的庫存費用為c元/年?件。設(shè)銷售商品是均勻的,問分多少批進貨時,才能使以上兩種費用的總和為最省?(a,b,c為常數(shù),且a,b,c>0)。

解:顯然,采購進貨的費用W1(x)bx,

兩次求導:C'(Q)=-6+2Q

令C'(Q)=0 則Q=3

當Q=3時,平均成本最低。

最小的平均成本C(Q)=15-18+9=6

而邊際成本函數(shù)C'(Q)=15-12Q+3Q2

當Q=3時,C'(Q)=15-36+27=6

可見最小平均成本與邊際成本相等。

邊際的意義是:當產(chǎn)量在Q的基礎(chǔ)上再增加一個單位時,成本C(Q)的增量。

三、總結(jié)

綜上所述,對經(jīng)營者來說,導數(shù)在經(jīng)濟學中的應(yīng)用頗為廣泛,而且在日常生活中、生產(chǎn)和科研中,常常會遇到最值的問題,不僅而已,從上面的例子可以看出,對其經(jīng)濟環(huán)節(jié)進行定量分析是非常必要的。將數(shù)學作為分析工具,不但可以給企業(yè)經(jīng)營者提供精確的數(shù)值,而且在分析的過程中,還可以給企業(yè)經(jīng)營者提供新的思路和視角,這也是數(shù)學應(yīng)用性的具體體現(xiàn)。因此,作為一個合格的企業(yè)經(jīng)營者,應(yīng)該掌握相應(yīng)的數(shù)學分析方法,從而為的經(jīng)營決策提供可靠依據(jù)。

參考文獻:

1.陸慶平.以企業(yè)價值最大化為導向的企業(yè)績效評價體系――基于利益相關(guān)者理論[J].會計研究,2006(3)

2.高哲.淺談微積分在經(jīng)濟中的應(yīng)用[J].中國科技博覽,2009(7)

3.李春萍.導數(shù)與積分在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用[J].商業(yè)視角,2007(5)

4.向菊敏.微積分在經(jīng)濟分析活動中的應(yīng)用[J].科技信息,2009(26)

5.褚衍彪.高等數(shù)學在經(jīng)濟分析中的運用[J].棗莊學院學報,2007(10)

6.譚瑞林,劉月芬.微積分在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用淺析[J].商場現(xiàn)代化,2008(4)

7.顧霞芳.淺談導數(shù)在經(jīng)濟中的應(yīng)用[J].職業(yè)圈,2007(4)

第2篇

【關(guān)鍵詞】中職數(shù)學;均值定理;函數(shù);最值問題

俗話說得好:“學好數(shù)理化,走遍天下全不怕”,我們在講解數(shù)學知識的過程中也要充分和實踐相結(jié)合。綜合分析多年來的單招高考試題,不難發(fā)現(xiàn),試卷的重難點大多集中在函數(shù)這一章節(jié)。函數(shù)知識點靈活,和中職所學的很多知識都有關(guān)聯(lián),均值定理是中職數(shù)學的重要組成部分,在單招高考中占有一定的比重,成為單招高考的高頻考點,總能以各種形式出現(xiàn)在單招高考的舞臺上,成為考驗學生綜合能力素養(yǎng)的體現(xiàn)。因而,我們教師如何將均值定理運用于函數(shù)最值這一個知識點講得通透準確顯得尤為關(guān)鍵,下面給出常規(guī)的例題講解和教學方法。

一、指導學生多種解題思路,避免出題陷阱

例1 求函數(shù)f(x)=+x(x

對于均值問題, 最常規(guī)的解題思路是直接套用公式,但是很多學生往往忽視使用公式的前提條件,忽視“一正,二定,三相等”這一前提,因此在解答這道題時很多初學者會犯一類錯誤,直接由均值定理得出答案是2,但很明顯,當x

例2 如果a>b,ab=1,求的取值區(qū)間。

這類題我們首先應(yīng)該觀察所求表達式本身的分子與分母的關(guān)系, 通過使用配湊法以及取公因式得到新的函數(shù),根據(jù)題目所給條件,確定a>b,a-b>0確保了“一正,二定,三相等”的使用原則,令x=a-b=a-,則f(x)==x+(x>0),很快利用公式可以算出取值區(qū)間。在解決此類題的過程中,最重要的是引導學生簡單地分析題目的條件,根據(jù)所給關(guān)系式運用配湊法等找出解決題目的核心,然后判斷題目所給的既定條件是否符合均值定理的使用原則,找出核心的關(guān)系式是解決此類問題的關(guān)鍵。其實之所以均值問題會成為單招高考中的殺手锏,是因為學生不能夠根據(jù)題目條件很迅速地確定答題關(guān)鍵,找出核心的關(guān)系式。因此,我們針對學生出現(xiàn)的這類問題,需要適時地調(diào)整我們的教學方法,盡量做到一題多解,并且指導學生掌握正確的學習方法,這對后期的學習會有更大地幫助。

二、明確學習目標,結(jié)合各地單招試題分析

很多學生對單招高考比較迷茫,對數(shù)學知識點更是沒有很好地把握。因此,我們教師要分析各地多年來的高考試卷,結(jié)合單招改革的形式,搜集有關(guān)的試題,結(jié)合例題講解,讓學生理解并學會應(yīng)用均值定理解決函數(shù)最值問題。教學過程中,我們要考慮學生的接受能力,步步為營、穩(wěn)扎穩(wěn)打,在學生平時的學習過程中穿插一些高考題,讓他們對高考有個簡單的了解,并且在講解的過程中要注意學生的解題思路,很多學生乍一看答案都是對的,但是很多都是誤打誤撞的,并沒有準確地理解定理運用的前提,這是解題的大忌,要做到精細和準確兩手抓,確保學生明確均值定理后再開始運用。

笛С杉ê玫難生并不是老師教出來的,學習最重要的過程是反思和將知識內(nèi)化,徹底理解并形成自己的思維模式才是最難能可貴的,因此我們要指導學生掌握科學的學習方法,尤其是在均值定理這一個知識點中。首先,學生得明確數(shù)學的學科性質(zhì),死記硬背是行不通的,對于均值定理雖然只有幾個簡單的概念,但是真正的消化并不容易,我們在上課的過程中就要幫助學生準確地理解均值定理的由來,三個條件缺一不可。其次,在我執(zhí)教的過程中,我都會要求學生準備錯題集,均值定理在函數(shù)最值問題中的應(yīng)用范圍很廣,很多題目初看覺得和定理無關(guān),其實很多解題關(guān)鍵都是很隱秘的,學生必然會掉到陷阱里。那么如何將這些知識做一個很好的歸類呢?這就要發(fā)揮錯題集的作用了,將自己經(jīng)常錯的和題目條件隱晦的題目整理起來,幫助自己后期系統(tǒng)復(fù)習,也彌補了這類知識的學習漏洞,考前將錯題重新做一下相較于做新題更有價值,學習本就是不斷溫故知新的過程。

綜合而言,均值定理的教學過程中要充分幫助學生正確地理解使用原則,并且運用不同的典型例題進行講解,幫助學生建立基本的知識架構(gòu),并且要做到一題多解,避免學生思維單一性。最關(guān)鍵的是要指導學生科學的學習方法,讓學生成為學習的主體,完成對知識的內(nèi)化。

【參考文獻】

第3篇

一、函數(shù)f(x)=x2-2x+2在區(qū)間[-1,3.2]上的最大值和最小值的動態(tài)演示

1.利用幾何畫板畫出f(x)=x2-2x+2的圖像,在x軸上繪制好A點(-1,0)和B點(3.2,0),即區(qū)間[-1,3.2].在線段AB上構(gòu)造一個點C,度量出C點的橫坐標,記為x,再計算出f(x),繪制好D(x,f(x));選擇C、D【構(gòu)造】|【軌跡】,得到f(x)=x2-2x+2(x∈[-1,3.2])的圖像.

2.隱藏圖像上不要的元素,使圖像更加簡潔.過D點作y軸的垂線段交y軸于E點.C點在線段AB上移動時,D點的縱坐標與E點的縱坐標一樣.通過E點的值的變化可以清晰地反映函數(shù)f(x)=x2-2x+2在區(qū)間[-1,3.2]上的最大值和最小值.

3.選擇點E【編輯】|【操作類按鈕】|【動畫】,制作好按鈕.只要按就可以讓F點在圖像上運動起來,觀察出何時取最大值和最小值,最后將E、F的標簽改為x、f(x),如圖1.

圖1

二、函數(shù)f(x)=x2-2x+2在區(qū)間[t,t+2]上的最大值和最小值的動態(tài)演示

1.利用幾何畫板畫出f(x)=x2-2x+2的圖像,在x軸上繪制一點A,度量A的橫坐標,記為t,計算t+2;繪制點B(t+2,0),構(gòu)造線段AB,在線段AB取一點P,度量其橫坐標,記為x,計算f(x),繪制點M(x,f(x));選擇P、M【構(gòu)造】|【軌跡】,得到f(x)=x2-2x+2(x∈[t,t+2])的圖像.

2.隱藏圖像上不要的元素,使圖像更加簡潔.作出函數(shù)圖像的對稱軸,過A、B兩點作x軸的垂線段,作出線段PM,再過M作y軸的垂線段(虛線),最后將A、B、P、M的標簽改為t,t+2,x,f(x),如圖2.

圖2

3.拖動點t讓函數(shù)f(x)=x2-2x+2(x∈[t,t+2])的圖像動起來.觀察函數(shù)在區(qū)間[t,t+2]的最大值和最小值,并從中總結(jié)出需要的結(jié)論.

4.當t≤-1時,函數(shù)的最大值為f(t),最小值為f(t+2);當-1

三、函數(shù)f(x)=x2-2tx+2在區(qū)間[-1,1]上的最大值和最小值的動態(tài)演示

1.在x軸上構(gòu)造一點A,過A點構(gòu)造x軸的垂線,再在垂線上構(gòu)造一點B,度量其縱坐標,記為t,并將B點標簽改為t.

2.繪制函數(shù)f(x)=x2-2tx+2圖像;繪制點C(-1,0)、D(1,0),構(gòu)造線段CD,在線段CD上取一點E,度量其橫坐標,記為x,計算f(x),繪制點F(x,f(x));選擇E、F【構(gòu)造】|【軌跡】,得到f(x)=x2-2tx+2(x∈[-1,1])的圖像.

3.隱藏圖像上不要的元素,使圖像更加簡潔.作出對稱軸,并作出線段EF,再過F作y軸的垂線段(虛線).將點E、F的標簽改為x,f(x).

第4篇

由于學生對判別式法求函數(shù)值域的原理不是很清楚,所以在求解時常常會考慮不周全而漏解,造成近幾年高考試卷中,解析幾何大題的最后一問關(guān)于斜率K的函數(shù)在求最值(或范圍)時,不能從容應(yīng)對,當然除了判別式法以外,也常常利用均值不等式進行處理。

總之,只有學生在學習過程中,對其原理認真領(lǐng)會、強化通性通法,引導學生對數(shù)學問題從多層面,多角度進行延伸探究,有意識的引導學生從“變”的現(xiàn)象中分析“不變”的本質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。所以變式教學要圍繞講的目的性和針對性展開:明確是訓練學生的計算能力,還是深化學生思維;是進一步鞏固基礎(chǔ),還是提高學生能力;是提醒學生哪些地方易錯,還是磨練學生解題意志。有效地拓展更好的服務(wù)于講,深化了練,提升了課堂的質(zhì)量。高三教學發(fā)揮變式功能,更是一種有效地引導學生學會“如何思”“如何想”并走向“自覺地思”“自覺地想”的方式,有利于培養(yǎng)學生靈活多變的創(chuàng)新思維,完善學生的認知結(jié)構(gòu),提高學生分析問題、解決問題和探索創(chuàng)新能力。

參考文獻

第5篇

關(guān)鍵詞:函數(shù)最值;基本方法

在中學數(shù)學中常遇到一類求函數(shù)最大值、最小值的問題,它是中學數(shù)學教與學中普遍感到困難的一類問題。函數(shù)最值涉及的知識面較廣,方法也靈活多變,訓練思維能力效果好,因此在數(shù)學中占有重要的地位,要學好函數(shù)最值就必須了解和掌握求函數(shù)最值的方法與技巧。函數(shù)最值的基本方法有很多,這章主要介紹代數(shù)法、導數(shù)法、構(gòu)造法、數(shù)形結(jié)合法、引進復(fù)數(shù)求函數(shù)最值。

一、配方法

代數(shù)法是中學階段應(yīng)用最廣泛的方法,它包括配方法、判別式法、換元法、不等式法等。首先,我們介紹配方法。

利用配方法將二次型轉(zhuǎn)化為標準型求函數(shù)最值的方法不僅易于掌握,而且思路清晰,操作簡單,它是求二次函數(shù)最值一種行之有效的方法。配方法及其思想在數(shù)學分析、高等代數(shù)、空間解析幾何等中都有著廣泛的應(yīng)用。配方法的基本步驟如下:

函數(shù)y=ax2+bx+c,經(jīng)配方得

y=ax+2+,

若a>0,當x=-時,ymin=;

若a

配方法是一種對數(shù)學式子進行定向變形(配成完全平方)的技巧,通過配方找到已知和未知的聯(lián)系,從而化繁為簡。掌握這一方法關(guān)鍵在于合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧。

二、判別式法

判別式法主要是應(yīng)用方程的思想來解決函數(shù)的最值。它是我們解題時常用的方法,具體的過程如下:

將函數(shù)y=,

改寫成關(guān)于x的一元二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,

則它有實數(shù)解x的充要條件是其判別式Δ=b2(y)-4a(y)c(y)≥0,

從而由等式(方程)轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的不等式,從而求其最大或最小值。在解題中應(yīng)注意a(y)≠0。

利用判別式法求函數(shù)的最值時應(yīng)注意兩點:

(1)求函數(shù)的定義域;

(2)對于二次方程的二次項系數(shù)要分零和非零兩種情形。

三、換元法

利用題設(shè)條件,用換元的方法消去函數(shù)中的一部分變量,將問題化歸為一元函數(shù)的最值,以促成問題順利解決。求函數(shù)最值的換元法主要有三角換元法和代數(shù)換元法。中學數(shù)學中較常見的是下面兩種形式的換元。

(1)y=ax+b+,令t=,將y轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù),再求最值。

(2)y=asinxcosx+c(sinx±cosx)+c,令t=sinx±cosx,將y轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù),再求最值。

四、不等式法

中學數(shù)學中利用均值不等式求函數(shù)最值是一種基本的、常用的方法。靈活運用均值不等式,能有效地解決一些給定約束條件的函數(shù)最值。均值不等式的運用有三個嚴格的限制條件,即(1)各項均為正數(shù);(2)積或和是定值;(3)等號能否取到,簡言之“一正二定三相等”,三個條件缺一不可。以下是有關(guān)均值不等式兩個定理。

定理1:當a,b∈R+時,則≥,當且僅當a=b時等號成立。

定理2:當a,b,c∈R+時,則≥,當且僅當a=b=c時等號成立。

五、導數(shù)法

導數(shù)法一般用來解決一類高次函數(shù)的最值。

用導數(shù)法求函數(shù)最值的步驟為:

第一步:找出fx在a,b內(nèi)所有可能的極值點,即駐點和一階不可導點;

第二步:求出fx在上述點和兩個端點a與b處的函數(shù)值;

第三步:將函數(shù)值進行比較,最大者即為最大值,最小者即為最小值。

綜上可知,函數(shù)最值內(nèi)涵豐富,解法靈活,沒有通用的方法和固定模式,在解題時要因題而異,而且上述方法并非彼此孤立,而是相互聯(lián)系、相互滲透的,有時一個問題需要多法并舉,互為補充,有時一個題目又會有多種解法,因此,解題的關(guān)鍵在分析和思考,因題而異地選擇恰當?shù)慕忸}方法,當一題有多種解法時,應(yīng)注意選擇最優(yōu)解法。以上就是本文整理出的有關(guān)于求函數(shù)最值的一些解法。當然求函數(shù)最值的方法不止這些,這里只是對求函數(shù)最值的方法作部分的歸納,具體的方法還有待去進一步的發(fā)現(xiàn)和總結(jié)。

六、結(jié)語

函數(shù)最值的方法是數(shù)學解題中既重要又實用的技巧。因此,深刻理解函數(shù)最值,熟練掌握求解函數(shù)最值的方法并在實踐中靈活運用,是我們學好數(shù)學的關(guān)鍵。

以上求解函數(shù)最值的方法與應(yīng)用并不全面,事實上還存在很多有關(guān)函數(shù)最值的求解方法和在其他方面上的應(yīng)用,因此需要不斷更新、研究,以便總結(jié)出更多求解函數(shù)最值的方法和更有效地應(yīng)用這些方法解決函數(shù)最值,讓函數(shù)最值的方法的應(yīng)用更加廣泛。

參考文獻:

1.張弛.函數(shù)的最值及其應(yīng)用.黑河教育,2004(2):34.

第6篇

編者按:最值問題遍及高中數(shù)學的所有知識點,綜合性強,是高考的必考內(nèi)容.同時,最值問題可以將各種知識作為背景來進行考查,形式多樣,不容易被考生所掌握.如果考生從最值問題的常見類型、求解策略以及解答時的易錯點三個角度來備考并加以掌握,其實最值問題也沒想象中那么難.

近幾年高考中的最值問題,在考查內(nèi)容上,涉及的知識點廣泛,如求函數(shù)的值域,求數(shù)列中的最大項或最小項,求數(shù)學應(yīng)用問題中有關(guān)用料最省、成本最低、利潤最大等問題;在解題方法上,求最值的方法有很多,如判別式法、均值不等式法、變量的有界性法、函數(shù)的性質(zhì)法、數(shù)形結(jié)合法等.

1.二次函數(shù)的最值

求解二次函數(shù)的最值一般是先配方,再借助二次函數(shù)的圖像解答.數(shù)學中的很多最值問題最后常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題來求解.

例1 (2008年高考重慶理科卷)已知函數(shù)的最大值為M,最小值為m,則的值為

難度系數(shù) 0.70

解 選C.

小結(jié) 二次函數(shù)的最值問題是其他很多最值問題(如三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、應(yīng)用性最值問題)的基礎(chǔ).最值問題要特別強調(diào)“定義域優(yōu)先”的原則,本題實質(zhì)上是求給定區(qū)間內(nèi)的二次函數(shù)的值域問題.

2.導數(shù)法求最值

導數(shù)的引入為函數(shù)最值的求解開辟了一條新路,我們通常用導數(shù)法求函數(shù)的最值要比用初等方法簡便得多,因此導數(shù)法求最值也是一種不可忽視的方法.

設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在上可導,求的最大值與最小值的步驟如下:

①求函數(shù)在內(nèi)的極值;

②將函數(shù)的各極值與, 進行比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.

例2 (2011年高考江西理科卷)設(shè)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求a的取值范圍;

(2)當在上的最小值為,求在該區(qū)間上的最大值.

難度系數(shù) 0.60

解 (1)解答過程省略.

(2)令,可得兩根所以在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

當時,有,所以在上的最大值為又即在上的最小值為于是得從而在該區(qū)間上的最大值為

小結(jié) 本題主要考查函數(shù)與導數(shù)的基礎(chǔ)知識.導數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性及最值的有效工具.

3.均值不等式求最值

均值不等式:若,則當且僅當時等號成立.應(yīng)用均值不等式要注意“一正、二定、三相等”的要求.

例3 (2012年高考湖南理科卷)已知兩條直線 和l1與函數(shù)y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點A,B ,l2與函數(shù)y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點C,D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a,b.當m 變化時,的最小值為

難度系數(shù) 0.55

解 由題意得選B.

小結(jié) 本題除了考查考生對對數(shù)函數(shù)圖像的理解外,還考查利用基本不等式求最值的方法.考生在解題時應(yīng)注意將配湊成的形式,再利用基本不等式進行求解.

4.輔助角型三角函數(shù)最值

求函數(shù)y=asin ωx+bcos ωx的最值可以轉(zhuǎn)化為求y=Asin(ωx+φ)的最值,再利用三角函數(shù)的有界性可求.

例4 (2011年高考新課標理科卷)在則AB+2BC的最大值為 .

難度系數(shù) 0.65

解 最大值為2

小結(jié) 本題考查正弦定理的應(yīng)用及三角函數(shù)的性質(zhì)和公式的應(yīng)用,熟練運用化一公式并利用函數(shù)的有界性處理是解答問題的關(guān)鍵.

不等式的恒成立問題

不等式的恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來求解.如:恒成立,即恒成立,即例5 (2012年高考天津理科卷)已知函數(shù)的最小值為0,其中

(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)若對任意的有成立,求實數(shù)k的最小值;

(Ⅲ)證明難度系數(shù) 0.50

解 (Ⅰ)據(jù)題意可知函數(shù) 的定義域為由當x變化時的變化情況如下表:

因此, f(x)在x=1-a處取得最小值.由題意有f(1-a)=1-a=0,所以a =1.

(Ⅱ),取,有,故不合題意.當時,令,即,于是

令,得

①當時, 在上恒成立,因此在上單調(diào)遞減.從而對任意的,總有,即在上恒成立.故符合題意.

②當時,對于,故在上單調(diào)遞增.因此,當取時,,即不成立.故不合題意.

綜上可知,k的最小值為.

(Ⅲ)證明過程省略.

第7篇

一、直接法

某些函數(shù)的結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜,可以通過適當變形,由初等函數(shù)的最值及不等式的性質(zhì)直接觀察得到它的最值。

例1 求y=x3+2/2+5暑的最杏值,解析:變形為y=1=X2+2/3,故當x=0,時,yma

二、反函數(shù)法

由原函數(shù)反解出x=£(y),根據(jù)x的范圍求出y的范圍,進而得到y(tǒng)的最值的方法稱為反函數(shù)法,此方法適用于能順利求得反函數(shù)的函數(shù),如形如y=αt+b/ct+d(α≠0)的函數(shù), 類似地,此方法也可推廣到可以解得g(x)=£(y),且已知g(x)的取值范圍的函數(shù),

三、配方法

配方法是求解“可化為二次函數(shù)形式”這一類函數(shù)的最值問題的基本方法,有著廣泛的應(yīng)用,

四、換元法

引入新變量對原函數(shù)式中的代數(shù)式或三角函數(shù)進行代換,將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化成容易求最值的簡單函數(shù),進而求得最值的方法稱為換元法,形如y=ax+6的函數(shù)求最值常用此法,用換元法解題時要特別注意變元前后自變量的取值范圍要保持一致。    五、不等式法

通過對原函數(shù)式進行變形,利用等基本不等式求函數(shù)的最值的方法稱為不等式法,用不等式法求最值時,要注意“一正、二定、三相等”的應(yīng)用條件,即不等式中的兩項必須都為正,兩項的和一定時積有最大值、積一定時和有最小值,必須能取得到最值,

點評:利用不等式法求最值時,要注意函數(shù)取到最值時,相應(yīng)的x的值是否存在,如果不存在,則此最值不能取到,此時要考慮用其他方法來解題,點評:用不等式法和判別式法都只能求出例8中函數(shù)的最小值,如果要求它的最大值,上述方法就不可行了,需要考慮換用其他方法,

七、單調(diào)性法

如果能確定函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性,就可以求出該函數(shù)的最值,求解函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題??稍囉眠@種方法,函數(shù)的單調(diào)性可以直接用單調(diào)性的定義來判別,也可結(jié)合函數(shù)的圖像來研究,或者用導數(shù)法來判定。

點評:看到例11中的函數(shù)的形式,很多同學會考慮用換元法來解題,但若用換元法無法將其轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的形式,會讓解題過程變得更繁雜,甚至無法順利進行下去,在判斷函數(shù)的單調(diào)性時,方法的選擇也是很重要的,三種方法各有特點:定義法是最容易想到的,圖像法最直觀,而導數(shù)法往往比較簡捷。

第8篇

關(guān)鍵詞:函數(shù);最值;解法;應(yīng)用

一、引言

最值問題是數(shù)學領(lǐng)域中的重要組成部分,更是函數(shù)研究中尤為重視的一塊分支。它貫穿于多個學科中,更是被頻繁的應(yīng)用于一些日常生活中各種實際問題的解決,而其解法又具有多樣性和靈活性,函數(shù)最值問題本質(zhì)是求取具體問題的最優(yōu)解,對于不同的最值問題,采取的解決辦法都不盡相同,但其整個解題的思維方式都是通過一次或多次的轉(zhuǎn)化,使其轉(zhuǎn)化為相對簡單的問題去求解。因此,本文通過對函數(shù)最值常見解法的探究,闡述了函數(shù)最值問題解法研究的重要性,并結(jié)合生活中的實例,進一步加強對函數(shù)最值問題解法的靈活運用,并分析總結(jié)出求解最值問題時應(yīng)注意的一些問題,對后人的學習和研究奠定基礎(chǔ)。

二、函數(shù)最值常見解法

(一)定義法:關(guān)鍵在于抓住定義中的“任意性”和“存在性”。

(二)配方法:主要針對二元函數(shù)的一般形式[1],即

四、結(jié)束語

本文介紹了幾種常見的有關(guān)函數(shù)最值問題的解法,并結(jié)合實際給出了生活中不同方面的關(guān)于最值的實例,將生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學思維來求解,同時探討了解題時需要注意的細節(jié),總結(jié)出求解問題的關(guān)鍵在于找準變量關(guān)系選擇合適方法,因此靈活的運用函數(shù)最值的解法是至關(guān)重要的,通過它解決的不僅是學業(yè)上的課題,而且它將在解決實際問題中扮演著一個至關(guān)重要的角色。

參考文獻:

第9篇

關(guān)鍵詞:初中數(shù)學;二次函數(shù);多角度;區(qū)間

二次函數(shù)求最值類的問題千變?nèi)f化,然而只要掌握一定的技巧,學會多角度分析,定能找到解題思路,以不變應(yīng)萬變,順利解決難題。本文以二次函數(shù)求最值問題的題型為基礎(chǔ),進行了解題模式的探討。

一、確定區(qū)間,結(jié)合圖象性質(zhì)

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的有力武器,在解決二次函數(shù)求最值的問題中也不例外,通過結(jié)合圖象性質(zhì),快速準確地確定區(qū)間,開辟出解題思路。

1.定軸定區(qū)間,直接判斷

當二次函數(shù)所給的函數(shù)區(qū)間固定,對稱軸固定時,我們可以通過做出函數(shù)圖形,清晰直觀地判斷和計算出函數(shù)的最值。這類題型比較簡單,所以我在教學中,主要教會大家準確地做出函數(shù)圖形,從而解決問題。

比如,對于定軸定區(qū)間函數(shù)求最值問題:求函數(shù)y=-x2+4x-3在區(qū)間[1,4]的最大值及最小值。首先我們分析二次函數(shù)的表達式,二次項系數(shù)小于零,說明函數(shù)圖象開口向下,函數(shù)的對稱軸為x==2。然后我們根據(jù)區(qū)間范圍,函數(shù)的對稱軸,開口方向可以做出該二次函數(shù)的草圖。通過觀察這一函數(shù)的圖象,我們可以得出二次函數(shù)的最大值應(yīng)在對稱軸處取得,二次函數(shù)的最小值在端點x=4處取得,通過將x軸的坐標軸代入函數(shù)表達式,即可求出相應(yīng)的最大值與最小值,從而得解。

講完例題后我向?qū)W生強調(diào)了這類題型的易錯點。定軸定區(qū)間類的二次函數(shù)求最值問題相對來說是最簡單的求最值問題,然而學生因為粗心大意也會發(fā)生錯誤,比如畫錯開口方向,大家一定要記住二次項系數(shù)大于零開口向上,二次項系數(shù)小于零開口向下。然后端點處和對稱軸處的函數(shù)值只要將對應(yīng)的x值代入函數(shù)表達式,便可準確地求出,進而做出函數(shù)圖象。

在這部分知識的教學中,我通過強調(diào)做函數(shù)圖象的細節(jié),引導學生在做題時通過直接地觀察,準確地得到最值,提高了課堂的效率。

2.定軸動區(qū)間,相對位置

定軸動區(qū)間類的二次函數(shù)其對稱軸確定,然而閉區(qū)間是不確定的。這類問題考查的是對稱軸與函數(shù)區(qū)間的相對位置關(guān)系,當函數(shù)區(qū)間發(fā)生變化時,隨著與對稱軸的相對位置發(fā)生變化,函數(shù)的最值也可能會發(fā)生變化,所以學生要掌握分類討論的思想,討論不同情況下的函數(shù)最值。

例如,求函數(shù)y=x2+2x-1在區(qū)間[t,t+2]上的最大值與最小值。這道題的類型屬于定軸動區(qū)間類問題,首先我們確定函數(shù)的對稱軸為x=-1。隨著t的取值不同,我們發(fā)現(xiàn)可以將這一問題分為三種情況進行討論,一是當對稱軸位于區(qū)間[t,t+2]的函數(shù)右側(cè)時,二是當對稱軸位于區(qū)間[t,t+2]的函數(shù)內(nèi)時,三是當對稱軸位于區(qū)間[t,t+2]的函數(shù)的左側(cè)時,進而可以將t的值也劃分為三個范圍進行討論。在第一種情況下,t+2

在上述例題的教學中,我通過引導學生進行分類討論,將問題分為各種情況然后求出最值,思路清晰,條理明確,能夠完整準確地確定該類二次函數(shù)的最值,取得了很好的教學效果。

3.定區(qū)間動軸,考慮變量

對于定區(qū)間動軸類的二次函數(shù)問題,由于區(qū)間固定而對稱軸不確定,因此函數(shù)的最值也會隨著對稱軸與區(qū)間的相對位置變化而發(fā)生變化,因此解決這類問題同樣需要進行分類討論,與定軸動區(qū)間類最值問題相似。

例如,求二次函數(shù)y=x2-ax+1在區(qū)間[0,2]上的最小值。我引導學生依照定軸動區(qū)間問題的求解思路,將該問題分成三種情況進行討論。通過計算,可得到二次函數(shù)對稱軸為x=,當區(qū)間范圍內(nèi)的函數(shù)位于對稱軸左側(cè)時,即a>4時,函數(shù)在區(qū)間[0,2]內(nèi)是單調(diào)遞減的,因此二次函數(shù)在x=2處取得最小值,為5-2a。當對稱軸包含在區(qū)間范圍內(nèi)的函數(shù)時,即0≤a≤4,由于該二次函數(shù)開口向上,所以在對稱軸處取得最小值,為-+1。分析到這一步的時候我向?qū)W生強調(diào)了求最大值的做法,這道題僅讓求最小值,而恰好對稱軸處為最小值,若這道題還要求求出最大值的話,學生也應(yīng)按照定軸動區(qū)間類問題中這種情況下的解題思路再次進行分類討論。當區(qū)間范圍內(nèi)的函數(shù)位于對稱軸右側(cè)時,即a>0時,函數(shù)在區(qū)間[0,2]內(nèi)是單調(diào)遞增的,因此,二次函數(shù)在x=0處求得最小值1。

在上述問題的教學中,我通過引導學生利用定軸動區(qū)間類最值問題的求解技巧與思路,順利地探求出動軸定區(qū)間類問題的求解方法,通過這樣類比與分類的討論思想,讓學生成功地理解與學會了這部分數(shù)學知識,高效地完成了教學目標。

二次函數(shù)的對稱軸位置、函數(shù)區(qū)間都會對二次函數(shù)的最值造成影響,學生在解題時,一定要看清題目對對稱軸和區(qū)間的要求,多角度分析問題,采取正確的解題策略。

二、含有系數(shù),字母視為常數(shù)

有時求最值問題所給的二次函數(shù)的系數(shù)是用字母表示的,對于這類問題的求解方法是將字母視為常數(shù),并根據(jù)字母所表示的系數(shù)的位置不同,可能需要進行分類討論。

二次函數(shù)的表達式可寫作y=ax2+bx+c,當所給函數(shù)的常數(shù)項用字母表示時,自然將其視為常數(shù)處理。例如,求二次函數(shù)y=x2+2x+a在區(qū)間[0,1]上的最大值。二次函數(shù)在[0,1]上單調(diào)遞增,x=1時函數(shù)的最大值為3+a。當所給函數(shù)的一次項系數(shù)用字母表示時,這類問題就是上述所講的動軸定區(qū)間類問題,將字母視為常數(shù),再結(jié)合自變量的范圍,按照分類討論的思想進行求解。當所給函數(shù)的二次項系數(shù)用字母表示時,例如,求二次函數(shù)y=ax2+4x-3(a≠0)在區(qū)間[1,3]內(nèi)的最大值。對這一例題進行分析,a的大小首先影響的是開口大小,因此首先分為a>0和a

在上述教學中,我通過教授學生將含有字母的系數(shù)視為常數(shù)的思想,引導學生攻克了含有參數(shù)的二次函數(shù)求最值問題,加深了學生對二次函數(shù)的理解與運用。

三、實際應(yīng)用,正確列函數(shù)式

二次函數(shù)在實際生產(chǎn)生活中也有很廣泛的應(yīng)用,通過利用二次函數(shù)求最值的方法,我們能夠解決最優(yōu)化問題。對于二次函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用問題進行分析,正確列出函數(shù)表達式是非常關(guān)鍵的步驟。

例如,某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8臺。為了響應(yīng)國家“家電下鄉(xiāng)”政策,商場決定降價。冰箱售價每降低50元,平均每天能多售出4臺。那么每臺冰箱降價多少元時,商場每天銷售這種冰箱的利潤最高?最高利潤為多少?求解這道題,我們首先應(yīng)當確定冰箱的利潤y與每臺冰箱降價x的函數(shù)表達式,y=(2400-x-2000)(×4+8)=-x2+24x+3200。我們可以做出該函數(shù)的圖象,對稱軸為x=150。

然后結(jié)合自變量x的取值范圍,我們可以求得二次函數(shù)在對稱軸處取得最大值,也就是說,當冰箱降價150元時,商場的利潤最大為5000元。然后我對二次函數(shù)應(yīng)用題進行了總結(jié),這類問題學生首先應(yīng)該讀清題意,確定正確的函數(shù)表達式,然后應(yīng)用定軸定區(qū)間二次函數(shù)求最值的求解方法,即可求得應(yīng)用題中的最優(yōu)結(jié)果。

在上述教學中,我對如何將實際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學二次函數(shù)極值問題的處理方法進行了講解,引導學生學會有效地結(jié)合函數(shù)圖象進行解題,應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì),成功地求解出應(yīng)用題的正確答案,進一步加深了學生對二次函數(shù)知識的掌握。

多角度分析是促進思維、加快解題速度的一種好方法。綜上所述,學生只要切實掌握確定函數(shù)區(qū)間的技巧,把握住含有系數(shù)的二次函數(shù)與二次函數(shù)的實際應(yīng)用解法,就能成功地克服部分二次函數(shù)難題??傊?,從多角度分析和解決問題,有助于迅速找到解題思路,提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

參考文獻:

[1]徐薇.淺談初中數(shù)學二次函數(shù)最值問題的求解[J].數(shù)理化解題研究:初中版,2015(13):26.

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