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關鍵詞：最大值 最小值 最值 邊際
中圖分類號:F224 文獻標識碼:A
文章編號:1004-4914（2011）12-082-02
在工農業生產、科學技術研究、經營管理中，經常要遇到在一定條件下，怎樣用料最省、產量最多、效率最高、成本最低等問題，這些問題在數學上有時可歸結為求某一函數的最大值或最小值的問題。隨著市場經濟的不斷發展，利用數學知識解決經濟問題顯得越來越重要，運用微分中的最值可以對經濟活動中的實際問題進行最優化分析，從而為企業經營者的科學決策提供依據。
一、最值的概念
1.最大值。設函數f（x）在區間[a,b]上連續，x0為區間[a,b]上某一點。當對于任意x∈[a,b]，有f（x）≤f（x0），則稱f（x0）為f（x）在[a,b]上的最大值，稱點x0為f（x）在[a,b]上的最大值點。
2.最小值。設函數f（x）在區間[a,b]上連續，x0為區間[a,b]上某一點。當對于任意x∈[a,b]，有f（x）≥f（x0），則稱f（x0）為f（x）在[a,b]上的最小值，稱點x0為f（x）在[a,b]上的最小值點。
最大值和最小值統稱為最值。
二、最值在經濟中的應用
最優化問題是經濟管理活動的核心，各種最優化問題也是微積分中最關心的問題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤最大，費用最省等等。下面介紹函數的最值在經濟效益最優化方面的若干應用。
1.最大利潤問題。
例1：某工廠在一個月生產某產品Q件時, 總成本為C（Q）=5Q+200（萬元），得到的收益為R（Q）=10Q-0.01Q2（萬元），問一個月生產多少產品時, 所獲利潤最大?
解：由題設，知利潤為
L（Q）=R（Q）-C（Q）=5Q-0.01Q2-200（0
顯然最大利潤一定在（0，+∞）內取得。
令L'（Q）=5-0.02Q=0，
得Q=250。又由
L''（Q）=-0.02
所以L（250）=425（萬元）為L的一個極大值。
從而一個月生產250件產品時，可取得最大利潤425萬元。
2.最大收益問題。
例2：某商品的需求量Q是價格p的函數Q=Q（p）=75-p2，問p為何值時，總收益最大？
解：總收益R（p）=pQ=75P-P3，（p>0）
令R'（p）=75-3p3=0，
得p=5，又
R''（p）=-6p?圯R''（5）
從而R（5）=250，為收益R（p）的極大值。
即當價格為5時，有最大收益250。
3．經濟批量問題。
例3：某商場每年銷售某商品a件，分為x批采購進貨，已知每批采購費用為b元，而未售商品的庫存費用為c元/年?件。設銷售商品是均勻的，問分多少批進貨時，才能使以上兩種費用的總和為最?。?a,b,c為常數，且a,b,c>0）。
解：顯然，采購進貨的費用W1（x）bx，
兩次求導：C'（Q）=-6+2Q
令C'（Q）=0 則Q=3
當Q=3時，平均成本最低。
最小的平均成本C（Q）=15-18+9=6
而邊際成本函數C'（Q）=15-12Q+3Q2
當Q=3時，C'（Q）=15-36+27=6
可見最小平均成本與邊際成本相等。
邊際的意義是：當產量在Q的基礎上再增加一個單位時，成本C（Q）的增量。
三、總結
綜上所述，對經營者來說，導數在經濟學中的應用頗為廣泛，而且在日常生活中、生產和科研中，常常會遇到最值的問題，不僅而已，從上面的例子可以看出，對其經濟環節進行定量分析是非常必要的。將數學作為分析工具，不但可以給企業經營者提供精確的數值，而且在分析的過程中，還可以給企業經營者提供新的思路和視角，這也是數學應用性的具體體現。因此，作為一個合格的企業經營者，應該掌握相應的數學分析方法，從而為的經營決策提供可靠依據。
參考文獻：
1.陸慶平.以企業價值最大化為導向的企業績效評價體系――基于利益相關者理論[J].會計研究,2006(3)
2.高哲.淺談微積分在經濟中的應用[J].中國科技博覽,2009（7）
3.李春萍.導數與積分在經濟分析中的應用[J].商業視角，2007（5）
4.向菊敏.微積分在經濟分析活動中的應用[J].科技信息，2009（26）
5.褚衍彪.高等數學在經濟分析中的運用[J].棗莊學院學報，2007（10）
6.譚瑞林，劉月芬.微積分在經濟分析中的應用淺析[J].商場現代化,2008（4）
7.顧霞芳.淺談導數在經濟中的應用[J].職業圈，2007（4）
【關鍵詞】中職數學；均值定理；函數；最值問題
俗話說得好：“學好數理化，走遍天下全不怕”，我們在講解數學知識的過程中也要充分和實踐相結合。綜合分析多年來的單招高考試題，不難發現，試卷的重難點大多集中在函數這一章節。函數知識點靈活，和中職所學的很多知識都有關聯，均值定理是中職數學的重要組成部分，在單招高考中占有一定的比重，成為單招高考的高頻考點，總能以各種形式出現在單招高考的舞臺上，成為考驗學生綜合能力素養的體現。因而，我們教師如何將均值定理運用于函數最值這一個知識點講得通透準確顯得尤為關鍵，下面給出常規的例題講解和教學方法。
一、指導學生多種解題思路，避免出題陷阱
例1 求函數f（x）=+x（x
對于均值問題， 最常規的解題思路是直接套用公式，但是很多學生往往忽視使用公式的前提條件，忽視“一正，二定，三相等”這一前提，因此在解答這道題時很多初學者會犯一類錯誤，直接由均值定理得出答案是2，但很明顯，當x
例2 如果a>b，ab=1，求的取值區間。
這類題我們首先應該觀察所求表達式本身的分子與分母的關系， 通過使用配湊法以及取公因式得到新的函數，根據題目所給條件，確定a>b，a-b>0確保了“一正，二定，三相等”的使用原則，令x=a-b=a-，則f（x）==x+（x>0），很快利用公式可以算出取值區間。在解決此類題的過程中，最重要的是引導學生簡單地分析題目的條件，根據所給關系式運用配湊法等找出解決題目的核心，然后判斷題目所給的既定條件是否符合均值定理的使用原則，找出核心的關系式是解決此類問題的關鍵。其實之所以均值問題會成為單招高考中的殺手锏，是因為學生不能夠根據題目條件很迅速地確定答題關鍵，找出核心的關系式。因此，我們針對學生出現的這類問題，需要適時地調整我們的教學方法，盡量做到一題多解，并且指導學生掌握正確的學習方法，這對后期的學習會有更大地幫助。
二、明確學習目標，結合各地單招試題分析
很多學生對單招高考比較迷茫，對數學知識點更是沒有很好地把握。因此，我們教師要分析各地多年來的高考試卷，結合單招改革的形式，搜集有關的試題，結合例題講解，讓學生理解并學會應用均值定理解決函數最值問題。教學過程中，我們要考慮學生的接受能力，步步為營、穩扎穩打，在學生平時的學習過程中穿插一些高考題，讓他們對高考有個簡單的了解，并且在講解的過程中要注意學生的解題思路，很多學生乍一看答案都是對的，但是很多都是誤打誤撞的，并沒有準確地理解定理運用的前提，這是解題的大忌，要做到精細和準確兩手抓，確保學生明確均值定理后再開始運用。
笛С杉ê玫難生并不是老師教出來的，學習最重要的過程是反思和將知識內化，徹底理解并形成自己的思維模式才是最難能可貴的，因此我們要指導學生掌握科學的學習方法，尤其是在均值定理這一個知識點中。首先，學生得明確數學的學科性質，死記硬背是行不通的，對于均值定理雖然只有幾個簡單的概念，但是真正的消化并不容易，我們在上課的過程中就要幫助學生準確地理解均值定理的由來，三個條件缺一不可。其次，在我執教的過程中，我都會要求學生準備錯題集，均值定理在函數最值問題中的應用范圍很廣，很多題目初看覺得和定理無關，其實很多解題關鍵都是很隱秘的，學生必然會掉到陷阱里。那么如何將這些知識做一個很好的歸類呢？這就要發揮錯題集的作用了，將自己經常錯的和題目條件隱晦的題目整理起來，幫助自己后期系統復習，也彌補了這類知識的學習漏洞，考前將錯題重新做一下相較于做新題更有價值，學習本就是不斷溫故知新的過程。
綜合而言，均值定理的教學過程中要充分幫助學生正確地理解使用原則，并且運用不同的典型例題進行講解，幫助學生建立基本的知識架構，并且要做到一題多解，避免學生思維單一性。最關鍵的是要指導學生科學的學習方法，讓學生成為學習的主體，完成對知識的內化。
【參考文獻】
一、函數f（x）=x2-2x+2在區間[-1，3.2]上的最大值和最小值的動態演示
1.利用幾何畫板畫出f（x）=x2-2x+2的圖像，在x軸上繪制好A點（-1，0）和B點（3.2，0），即區間[-1，3.2].在線段AB上構造一個點C，度量出C點的橫坐標，記為x，再計算出f（x），繪制好D（x，f（x））；選擇C、D【構造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[-1，3.2]）的圖像.
2.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡潔.過D點作y軸的垂線段交y軸于E點.C點在線段AB上移動時，D點的縱坐標與E點的縱坐標一樣.通過E點的值的變化可以清晰地反映函數f（x）=x2-2x+2在區間[-1，3.2]上的最大值和最小值.
3.選擇點E【編輯】|【操作類按鈕】|【動畫】，制作好按鈕.只要按就可以讓F點在圖像上運動起來，觀察出何時取最大值和最小值，最后將E、F的標簽改為x、f（x），如圖1.
圖1
二、函數f（x）=x2-2x+2在區間[t，t+2]上的最大值和最小值的動態演示
1.利用幾何畫板畫出f（x）=x2-2x+2的圖像，在x軸上繪制一點A，度量A的橫坐標，記為t，計算t+2；繪制點B（t+2，0），構造線段AB，在線段AB取一點P，度量其橫坐標，記為x，計算f（x），繪制點M（x，f（x））；選擇P、M【構造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的圖像.
2.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡潔.作出函數圖像的對稱軸，過A、B兩點作x軸的垂線段，作出線段PM，再過M作y軸的垂線段（虛線），最后將A、B、P、M的標簽改為t，t+2，x，f（x），如圖2.
圖2
3.拖動點t讓函數f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的圖像動起來.觀察函數在區間[t，t+2]的最大值和最小值，并從中總結出需要的結論.
4.當t≤-1時，函數的最大值為f（t），最小值為f（t+2）；當-1
三、函數f（x）=x2-2tx+2在區間[-1，1]上的最大值和最小值的動態演示
1.在x軸上構造一點A，過A點構造x軸的垂線，再在垂線上構造一點B，度量其縱坐標，記為t，并將B點標簽改為t.
2.繪制函數f（x）=x2-2tx+2圖像；繪制點C（-1，0）、D（1，0），構造線段CD，在線段CD上取一點E，度量其橫坐標，記為x，計算f（x），繪制點F（x，f（x））；選擇E、F【構造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2tx+2（x∈[-1，1]）的圖像.
3.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡潔.作出對稱軸，并作出線段EF，再過F作y軸的垂線段（虛線）.將點E、F的標簽改為x，f（x）.
由于學生對判別式法求函數值域的原理不是很清楚，所以在求解時常常會考慮不周全而漏解，造成近幾年高考試卷中，解析幾何大題的最后一問關于斜率K的函數在求最值（或范圍）時，不能從容應對，當然除了判別式法以外，也常常利用均值不等式進行處理。
總之，只有學生在學習過程中，對其原理認真領會、強化通性通法，引導學生對數學問題從多層面，多角度進行延伸探究，有意識的引導學生從“變”的現象中分析“不變”的本質發現規律。所以變式教學要圍繞講的目的性和針對性展開：明確是訓練學生的計算能力，還是深化學生思維；是進一步鞏固基礎，還是提高學生能力；是提醒學生哪些地方易錯，還是磨練學生解題意志。有效地拓展更好的服務于講，深化了練，提升了課堂的質量。高三教學發揮變式功能，更是一種有效地引導學生學會“如何思”“如何想”并走向“自覺地思”“自覺地想”的方式，有利于培養學生靈活多變的創新思維，完善學生的認知結構，提高學生分析問題、解決問題和探索創新能力。
參考文獻
關鍵詞：函數最值；基本方法
在中學數學中常遇到一類求函數最大值、最小值的問題，它是中學數學教與學中普遍感到困難的一類問題。函數最值涉及的知識面較廣，方法也靈活多變，訓練思維能力效果好，因此在數學中占有重要的地位，要學好函數最值就必須了解和掌握求函數最值的方法與技巧。函數最值的基本方法有很多，這章主要介紹代數法、導數法、構造法、數形結合法、引進復數求函數最值。
一、配方法
代數法是中學階段應用最廣泛的方法，它包括配方法、判別式法、換元法、不等式法等。首先，我們介紹配方法。
利用配方法將二次型轉化為標準型求函數最值的方法不僅易于掌握，而且思路清晰，操作簡單，它是求二次函數最值一種行之有效的方法。配方法及其思想在數學分析、高等代數、空間解析幾何等中都有著廣泛的應用。配方法的基本步驟如下：
函數y=ax2+bx+c，經配方得
y=ax+2+，
若a>0，當x=-時，ymin=；
若a
配方法是一種對數學式子進行定向變形（配成完全平方）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。掌握這一方法關鍵在于合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧。
二、判別式法
判別式法主要是應用方程的思想來解決函數的最值。它是我們解題時常用的方法，具體的過程如下：
將函數y=，
改寫成關于x的一元二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，
則它有實數解x的充要條件是其判別式Δ=b2（y）-4a（y）c（y）≥0，
從而由等式（方程）轉化為關于y的不等式，從而求其最大或最小值。在解題中應注意a（y）≠0。
利用判別式法求函數的最值時應注意兩點：
（1）求函數的定義域；
（2）對于二次方程的二次項系數要分零和非零兩種情形。
三、換元法
利用題設條件，用換元的方法消去函數中的一部分變量，將問題化歸為一元函數的最值，以促成問題順利解決。求函數最值的換元法主要有三角換元法和代數換元法。中學數學中較常見的是下面兩種形式的換元。
（1）y=ax+b+，令t=，將y轉化為t的二次函數，再求最值。
（2）y=asinxcosx+c（sinx±cosx）+c，令t=sinx±cosx，將y轉化為t的二次函數，再求最值。
四、不等式法
中學數學中利用均值不等式求函數最值是一種基本的、常用的方法。靈活運用均值不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數最值。均值不等式的運用有三個嚴格的限制條件，即（1）各項均為正數；（2）積或和是定值；（3）等號能否取到，簡言之“一正二定三相等”，三個條件缺一不可。以下是有關均值不等式兩個定理。
定理1：當a，b∈R+時，則≥，當且僅當a=b時等號成立。
定理2：當a，b，c∈R+時，則≥，當且僅當a=b=c時等號成立。
五、導數法
導數法一般用來解決一類高次函數的最值。
用導數法求函數最值的步驟為：
第一步：找出fx在a，b內所有可能的極值點，即駐點和一階不可導點；
第二步：求出fx在上述點和兩個端點a與b處的函數值；
第三步：將函數值進行比較，最大者即為最大值，最小者即為最小值。
綜上可知，函數最值內涵豐富，解法靈活，沒有通用的方法和固定模式，在解題時要因題而異，而且上述方法并非彼此孤立，而是相互聯系、相互滲透的，有時一個問題需要多法并舉，互為補充，有時一個題目又會有多種解法，因此，解題的關鍵在分析和思考，因題而異地選擇恰當的解題方法，當一題有多種解法時，應注意選擇最優解法。以上就是本文整理出的有關于求函數最值的一些解法。當然求函數最值的方法不止這些，這里只是對求函數最值的方法作部分的歸納，具體的方法還有待去進一步的發現和總結。
六、結語
函數最值的方法是數學解題中既重要又實用的技巧。因此，深刻理解函數最值，熟練掌握求解函數最值的方法并在實踐中靈活運用，是我們學好數學的關鍵。
以上求解函數最值的方法與應用并不全面，事實上還存在很多有關函數最值的求解方法和在其他方面上的應用，因此需要不斷更新、研究，以便總結出更多求解函數最值的方法和更有效地應用這些方法解決函數最值，讓函數最值的方法的應用更加廣泛。
參考文獻：
1.張弛.函數的最值及其應用.黑河教育，2004（2）：34.
編者按：最值問題遍及高中數學的所有知識點，綜合性強，是高考的必考內容.同時，最值問題可以將各種知識作為背景來進行考查，形式多樣，不容易被考生所掌握.如果考生從最值問題的常見類型、求解策略以及解答時的易錯點三個角度來備考并加以掌握，其實最值問題也沒想象中那么難.
近幾年高考中的最值問題，在考查內容上，涉及的知識點廣泛，如求函數的值域，求數列中的最大項或最小項，求數學應用問題中有關用料最省、成本最低、利潤最大等問題；在解題方法上，求最值的方法有很多，如判別式法、均值不等式法、變量的有界性法、函數的性質法、數形結合法等.
1.二次函數的最值
求解二次函數的最值一般是先配方，再借助二次函數的圖像解答.數學中的很多最值問題最后常轉化為二次函數的最值問題來求解.
例1 （2008年高考重慶理科卷）已知函數的最大值為M，最小值為m，則的值為
難度系數 0.70
解 選C.
小結 二次函數的最值問題是其他很多最值問題（如三角函數、數列、解析幾何、應用性最值問題）的基礎.最值問題要特別強調“定義域優先”的原則，本題實質上是求給定區間內的二次函數的值域問題.
2.導數法求最值
導數的引入為函數最值的求解開辟了一條新路，我們通常用導數法求函數的最值要比用初等方法簡便得多，因此導數法求最值也是一種不可忽視的方法.
設函數在上連續，在上可導，求的最大值與最小值的步驟如下：
①求函數在內的極值；
②將函數的各極值與， 進行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
例2 （2011年高考江西理科卷）設上存在單調遞增區間，求a的取值范圍；
（2）當在上的最小值為，求在該區間上的最大值.
難度系數 0.60
解 （1）解答過程省略.
（2）令，可得兩根所以在和上單調遞減，在上單調遞增.
當時，有，所以在上的最大值為又即在上的最小值為于是得從而在該區間上的最大值為
小結 本題主要考查函數與導數的基礎知識.導數是研究函數單調性及最值的有效工具.
3.均值不等式求最值
均值不等式：若，則當且僅當時等號成立.應用均值不等式要注意“一正、二定、三相等”的要求.
例3 （2012年高考湖南理科卷）已知兩條直線 和l1與函數y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點A，B ，l2與函數y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點C，D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b.當m 變化時，的最小值為
難度系數 0.55
解 由題意得選B.
小結 本題除了考查考生對對數函數圖像的理解外，還考查利用基本不等式求最值的方法.考生在解題時應注意將配湊成的形式，再利用基本不等式進行求解.
4.輔助角型三角函數最值
求函數y=asin ωx+bcos ωx的最值可以轉化為求y=Asin（ωx+φ）的最值，再利用三角函數的有界性可求.
例4 （2011年高考新課標理科卷）在則AB+2BC的最大值為 .
難度系數 0.65
解 最大值為2
小結 本題考查正弦定理的應用及三角函數的性質和公式的應用，熟練運用化一公式并利用函數的有界性處理是解答問題的關鍵.
不等式的恒成立問題
不等式的恒成立問題常轉化為函數的最值問題來求解.如：恒成立，即恒成立，即例5 （2012年高考天津理科卷）已知函數的最小值為0，其中
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若對任意的有成立，求實數k的最小值；
（Ⅲ）證明難度系數 0.50
解 （Ⅰ）據題意可知函數 的定義域為由當x變化時的變化情況如下表：
因此， f（x）在x=1-a處取得最小值.由題意有f（1-a）=1-a=0，所以a =1.
（Ⅱ），取，有，故不合題意.當時，令，即，于是
令，得
①當時， 在上恒成立，因此在上單調遞減.從而對任意的，總有，即在上恒成立.故符合題意.
②當時，對于，故在上單調遞增.因此，當取時，，即不成立.故不合題意.
綜上可知，k的最小值為.
（Ⅲ）證明過程省略.
一、直接法
某些函數的結構并不復雜，可以通過適當變形，由初等函數的最值及不等式的性質直接觀察得到它的最值。
例1 求y=x3＋2/2＋5暑的最杏值，解析：變形為y＝1=X2＋2/3，故當x=0，時，yma
二、反函數法
由原函數反解出x=￡(y)，根據x的范圍求出y的范圍，進而得到y的最值的方法稱為反函數法，此方法適用于能順利求得反函數的函數，如形如y=αt＋b/ct＋d(α≠0)的函數， 類似地，此方法也可推廣到可以解得g(x)=￡(y)，且已知g(x)的取值范圍的函數，
三、配方法
配方法是求解“可化為二次函數形式”這一類函數的最值問題的基本方法，有著廣泛的應用，
四、換元法
引入新變量對原函數式中的代數式或三角函數進行代換，將所給函數轉化成容易求最值的簡單函數，進而求得最值的方法稱為換元法，形如y=ax+6的函數求最值常用此法，用換元法解題時要特別注意變元前后自變量的取值范圍要保持一致。 五、不等式法
通過對原函數式進行變形，利用等基本不等式求函數的最值的方法稱為不等式法，用不等式法求最值時，要注意“一正、二定、三相等”的應用條件，即不等式中的兩項必須都為正，兩項的和一定時積有最大值、積一定時和有最小值，必須能取得到最值，
點評：利用不等式法求最值時，要注意函數取到最值時，相應的x的值是否存在，如果不存在，則此最值不能取到，此時要考慮用其他方法來解題，點評：用不等式法和判別式法都只能求出例8中函數的最小值，如果要求它的最大值，上述方法就不可行了，需要考慮換用其他方法，
七、單調性法
如果能確定函數在某個區間上的單調性，就可以求出該函數的最值，求解函數在給定區間上的最值問題?？稍囉眠@種方法，函數的單調性可以直接用單調性的定義來判別，也可結合函數的圖像來研究，或者用導數法來判定。
點評：看到例11中的函數的形式，很多同學會考慮用換元法來解題，但若用換元法無法將其轉化為一元二次函數的形式，會讓解題過程變得更繁雜，甚至無法順利進行下去，在判斷函數的單調性時，方法的選擇也是很重要的，三種方法各有特點：定義法是最容易想到的，圖像法最直觀，而導數法往往比較簡捷。
關鍵詞：函數；最值；解法；應用
一、引言
最值問題是數學領域中的重要組成部分，更是函數研究中尤為重視的一塊分支。它貫穿于多個學科中，更是被頻繁的應用于一些日常生活中各種實際問題的解決，而其解法又具有多樣性和靈活性，函數最值問題本質是求取具體問題的最優解，對于不同的最值問題，采取的解決辦法都不盡相同，但其整個解題的思維方式都是通過一次或多次的轉化，使其轉化為相對簡單的問題去求解。因此，本文通過對函數最值常見解法的探究，闡述了函數最值問題解法研究的重要性，并結合生活中的實例，進一步加強對函數最值問題解法的靈活運用，并分析總結出求解最值問題時應注意的一些問題，對后人的學習和研究奠定基礎。
二、函數最值常見解法
（一）定義法：關鍵在于抓住定義中的“任意性”和“存在性”。
（二）配方法：主要針對二元函數的一般形式[1]，即
四、結束語
本文介紹了幾種常見的有關函數最值問題的解法，并結合實際給出了生活中不同方面的關于最值的實例，將生活中的問題轉化為數學思維來求解，同時探討了解題時需要注意的細節，總結出求解問題的關鍵在于找準變量關系選擇合適方法，因此靈活的運用函數最值的解法是至關重要的，通過它解決的不僅是學業上的課題，而且它將在解決實際問題中扮演著一個至關重要的角色。
參考文獻：
關鍵詞：初中數學；二次函數；多角度；區間
二次函數求最值類的問題千變萬化，然而只要掌握一定的技巧，學會多角度分析，定能找到解題思路，以不變應萬變，順利解決難題。本文以二次函數求最值問題的題型為基礎，進行了解題模式的探討。
一、確定區間，結合圖象性質
數形結合是解決數學問題的有力武器，在解決二次函數求最值的問題中也不例外，通過結合圖象性質，快速準確地確定區間，開辟出解題思路。
1.定軸定區間，直接判斷
當二次函數所給的函數區間固定，對稱軸固定時，我們可以通過做出函數圖形，清晰直觀地判斷和計算出函數的最值。這類題型比較簡單，所以我在教學中，主要教會大家準確地做出函數圖形，從而解決問題。
比如，對于定軸定區間函數求最值問題：求函數y=-x2+4x-3在區間[1，4]的最大值及最小值。首先我們分析二次函數的表達式，二次項系數小于零，說明函數圖象開口向下，函數的對稱軸為x==2。然后我們根據區間范圍，函數的對稱軸，開口方向可以做出該二次函數的草圖。通過觀察這一函數的圖象，我們可以得出二次函數的最大值應在對稱軸處取得，二次函數的最小值在端點x=4處取得，通過將x軸的坐標軸代入函數表達式，即可求出相應的最大值與最小值，從而得解。
講完例題后我向學生強調了這類題型的易錯點。定軸定區間類的二次函數求最值問題相對來說是最簡單的求最值問題，然而學生因為粗心大意也會發生錯誤，比如畫錯開口方向，大家一定要記住二次項系數大于零開口向上，二次項系數小于零開口向下。然后端點處和對稱軸處的函數值只要將對應的x值代入函數表達式，便可準確地求出，進而做出函數圖象。
在這部分知識的教學中，我通過強調做函數圖象的細節，引導學生在做題時通過直接地觀察，準確地得到最值，提高了課堂的效率。
2.定軸動區間，相對位置
定軸動區間類的二次函數其對稱軸確定，然而閉區間是不確定的。這類問題考查的是對稱軸與函數區間的相對位置關系，當函數區間發生變化時，隨著與對稱軸的相對位置發生變化，函數的最值也可能會發生變化，所以學生要掌握分類討論的思想，討論不同情況下的函數最值。
例如，求函數y=x2+2x-1在區間[t，t+2]上的最大值與最小值。這道題的類型屬于定軸動區間類問題，首先我們確定函數的對稱軸為x=-1。隨著t的取值不同，我們發現可以將這一問題分為三種情況進行討論，一是當對稱軸位于區間[t，t+2]的函數右側時，二是當對稱軸位于區間[t，t+2]的函數內時，三是當對稱軸位于區間[t，t+2]的函數的左側時，進而可以將t的值也劃分為三個范圍進行討論。在第一種情況下，t+2
在上述例題的教學中，我通過引導學生進行分類討論，將問題分為各種情況然后求出最值，思路清晰，條理明確，能夠完整準確地確定該類二次函數的最值，取得了很好的教學效果。
3.定區間動軸，考慮變量
對于定區間動軸類的二次函數問題，由于區間固定而對稱軸不確定，因此函數的最值也會隨著對稱軸與區間的相對位置變化而發生變化，因此解決這類問題同樣需要進行分類討論，與定軸動區間類最值問題相似。
例如，求二次函數y=x2-ax+1在區間[0，2]上的最小值。我引導學生依照定軸動區間問題的求解思路，將該問題分成三種情況進行討論。通過計算，可得到二次函數對稱軸為x=，當區間范圍內的函數位于對稱軸左側時，即a>4時，函數在區間[0，2]內是單調遞減的，因此二次函數在x=2處取得最小值，為5-2a。當對稱軸包含在區間范圍內的函數時，即0≤a≤4，由于該二次函數開口向上，所以在對稱軸處取得最小值，為-+1。分析到這一步的時候我向學生強調了求最大值的做法，這道題僅讓求最小值，而恰好對稱軸處為最小值，若這道題還要求求出最大值的話，學生也應按照定軸動區間類問題中這種情況下的解題思路再次進行分類討論。當區間范圍內的函數位于對稱軸右側時，即a>0時，函數在區間[0，2]內是單調遞增的，因此，二次函數在x=0處求得最小值1。
在上述問題的教學中，我通過引導學生利用定軸動區間類最值問題的求解技巧與思路，順利地探求出動軸定區間類問題的求解方法，通過這樣類比與分類的討論思想，讓學生成功地理解與學會了這部分數學知識，高效地完成了教學目標。
二次函數的對稱軸位置、函數區間都會對二次函數的最值造成影響，學生在解題時，一定要看清題目對對稱軸和區間的要求，多角度分析問題，采取正確的解題策略。
二、含有系數，字母視為常數
有時求最值問題所給的二次函數的系數是用字母表示的，對于這類問題的求解方法是將字母視為常數，并根據字母所表示的系數的位置不同，可能需要進行分類討論。
二次函數的表達式可寫作y=ax2+bx+c，當所給函數的常數項用字母表示時，自然將其視為常數處理。例如，求二次函數y=x2+2x+a在區間[0，1]上的最大值。二次函數在[0，1]上單調遞增，x=1時函數的最大值為3+a。當所給函數的一次項系數用字母表示時，這類問題就是上述所講的動軸定區間類問題，將字母視為常數，再結合自變量的范圍，按照分類討論的思想進行求解。當所給函數的二次項系數用字母表示時，例如，求二次函數y=ax2+4x-3（a≠0）在區間[1，3]內的最大值。對這一例題進行分析，a的大小首先影響的是開口大小，因此首先分為a>0和a
在上述教學中，我通過教授學生將含有字母的系數視為常數的思想，引導學生攻克了含有參數的二次函數求最值問題，加深了學生對二次函數的理解與運用。
三、實際應用，正確列函數式
二次函數在實際生產生活中也有很廣泛的應用，通過利用二次函數求最值的方法，我們能夠解決最優化問題。對于二次函數在日常生活中的應用問題進行分析，正確列出函數表達式是非常關鍵的步驟。
例如，某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺。為了響應國家“家電下鄉”政策，商場決定降價。冰箱售價每降低50元，平均每天能多售出4臺。那么每臺冰箱降價多少元時，商場每天銷售這種冰箱的利潤最高？最高利潤為多少？求解這道題，我們首先應當確定冰箱的利潤y與每臺冰箱降價x的函數表達式，y=（2400-x-2000）（×4+8）=-x2+24x+3200。我們可以做出該函數的圖象，對稱軸為x=150。
然后結合自變量x的取值范圍，我們可以求得二次函數在對稱軸處取得最大值，也就是說，當冰箱降價150元時，商場的利潤最大為5000元。然后我對二次函數應用題進行了總結，這類問題學生首先應該讀清題意，確定正確的函數表達式，然后應用定軸定區間二次函數求最值的求解方法，即可求得應用題中的最優結果。
在上述教學中，我對如何將實際生活問題轉化為數學二次函數極值問題的處理方法進行了講解，引導學生學會有效地結合函數圖象進行解題，應用二次函數的性質，成功地求解出應用題的正確答案，進一步加深了學生對二次函數知識的掌握。
多角度分析是促進思維、加快解題速度的一種好方法。綜上所述，學生只要切實掌握確定函數區間的技巧，把握住含有系數的二次函數與二次函數的實際應用解法，就能成功地克服部分二次函數難題。總之，從多角度分析和解決問題，有助于迅速找到解題思路，提高學生的數學素養。
參考文獻：
[1]徐薇.淺談初中數學二次函數最值問題的求解[J].數理化解題研究：初中版，2015（13）：26.
